スタガード格子 — CAE用語解説

良い質問だ。核心は「圧力振動（チェッカーボード不安定性）」の抑制にある。全ての変数を同じ格子点（コロケート格子）で定義すると、圧力勾配項の離散化で、隣接する圧力が計算に全く寄与しない奇妙な離散化が生じる。例えば、x方向の運動方程式で、

例えば、二次元のキャビティ流れで、初期条件を全ての格子点で圧力p=0、速度u=0とし、コロケート格子を使うとしよう。ソルバーが連続の式を満たそうとして圧力を修正する時、隣接しない格子点（チェッカーボード模様のように）で交互に正負の圧力が発生する解も数式的に許容されてしまう。このモードは減衰せず、速度場にノイズとして乗り、Re=1000でも数ステップで発散する。スタガード格子は、速度成分の定義点を半格子分ずらすことで、自然に圧力勾配を評価するための隣接圧力情報を取り込む構造を作る。これが1965年にHarlowとWelchが提案した本質的な理由だ。

特に非圧縮性流れの運動方程式における圧力勾配項と、連続の式（速度の発散=0）だ。非定常項と移流項、粘性項はコロケートでも問題ない。スタガード配置では、u速度点で評価するx方向運動方程式の圧力勾配は、

その通り。2次元の場合、圧力pはセル中心に定義するので、配列サイズを[Nx, Ny]とする。x方向速度uはセルの左右面（x方向にスタガード）に定義するので、配列サイズは[Nx+1, Ny]になる。y方向速度vは上下面に定義で[Nx, Ny+1]だ。例えば、計算領域が1m x 1mで、格子数が100x100なら、pは100x100、uは101x100、vは100x101の配列を確保する。これが「スタガード」の実体だ。

ここが実装の肝だ。左側を流入境界（x=0）としよう。この境界はu速度点と一致している。だから流入速度U_inは直接、u[0, :] = U_inと設定できる。しかし、圧力点p[0, :]は境界から半格子内側にある。ここには通常、Neumann条件（∂p/∂x=0）を差分化して与える。具体的には、仮想的な境界外の圧力点p[-1, :]を考え、

根本的に違う。スタガード格子では、圧力修正p'の方程式は、連続の式を満たすように導出されるが、離散化された連続の式はセル中心で評価される。例えばセル(i,j)では、

その通り、明示的な選択肢は少ない。まず「スキームの選択」で決まる。例えば、Ansys Fluentで「Pressure-Based」ソルバーを選んだ時、デフォルトの空間離散化スキームは、圧力が「PRESTO!」または「Second Order」、速度が「Second Order Upwind」などだ。この時、内部ではスタガード的な配置（FluentではコリocatedだがRhie-Chow補間で振動抑制）が使われる。純粋なスタガードを実装しているのは、古いコードや研究用コードだ。ユーザーが確認すべきは「圧力-速度連成アルゴリズム」（SIMPLE, SIMPLEC, PISO）と「勾配の再構成方法」だ。これらがチェッカーボードを抑制するロジックを担っている。

重要な指摘だ。結果を可視化する際、全ての変数を同じ位置（通常はセル中心）に補間する必要がある。単純な線形補間で済むが、特に壁面近くのせん断応力や圧力係数を評価する時は注意が必要だ。壁面せん断応力τ_wは、壁面での速度勾配

非構造格子でも概念は適用可能だが、実装は複雑だ。いわゆる「コリケーテッド格子」が主流となった理由だ。非構造格子では、全ての変数をセル中心（または節点）に定義し、Rhie-Chowの補間法などの手法で圧力振動を抑制する。OpenFOAMの非構造FVMソルバーの多くはこのアプローチだ。ただし、一部の専門コードでは、非構造「スタガード」格子として、速度を面心に定義する実装もある（MAC法の拡張）。しかし、データ構造と境界条件処理が非常に煩雑になるため、汎用CFDソフトウェアではほぼ採用されていない。

両者とも、現代的な実装では「コリケーテッド格子」を基盤としつつ、スタガード格子の利点を取り入れたハイブリッド手法を使っている。

汎用コードではほぼないが、特定分野に特化したコードでは残っている。例えば、建築風工学でよく使われる**PHOENICS**の初期バージョンは、古典的なスタガード格子（MAC法）を採用していた。また、オープンソースでは、**NASAのCART3D**（航空機用パネル法/CFDハイブリッドコード）の内部ソルバーなどに名残が見られる。しかし、データ処理の煩雑さと、非構造格子への拡張性の低さから、主流はRhie-Chow補間付きコリケーテッド格子に移行した。この移行は1990年代後半にほぼ完了したと言っていい。

`icoFoam`を含むOpenFOAMのほとんどのソルバーは、**非構造有限体積法に基づくコリケーテッド格子**を使用している。変数はすべてセル中心に定義される。圧力-速度連成には、**PISO**または**SIMPLE**アルゴリズムが用いられ、その内部で面心での速度補間（`interpolate(U)`）が実行される。この補間過程で、暗黙的にRhie-Chowと同様の効果が得られるように設計されている。つまり、OpenFOAMユーザーが「スタガード格子を設定する」必要はない。ただし、離散化スキームの設定ファイル(`fvSchemes`)で、`div`（発散項）や`grad`（勾配項）のスキームを選択することが、結果的にこの振動抑制の強さに影響する。

まず疑うべきは「ソルバーの発散」ではなく「離散化自体の不安定性」だ。具体的には以下の点をチェックせよ。

スタガード格子特有の原因として、「壁面での速度勾配評価の精度」が挙げられる。壁面上のせん断応力τ_wを、壁面と最初のu速度点の差で

必ずしもそうとは限らない。考えられる原因は二つ。

データ管理とインデックス付けの複雑さが飛躍的に増す。圧力pは[Nx, Ny, Nz]、速度uは[Nx+1, Ny, Nz]、vは[Nx, Ny+1, Nz]、wは[Nx, Ny, Nz+1]となる。セル(i,j,k)に対する連続の式は、