噪声预测仿真——从FEM-BEM耦合到SEA
理论与物理
噪声预测的整体框架
噪声预测的仿真具体是怎么做的呢？声音看不见摸不着，该从哪里入手呢…
粗略来说分两个阶段。首先通过结构的FEM振动分析求得表面速度分布。然后用BEM（边界元法）计算从该振动表面辐射出的声压分布。
原来如此，是把振动和声音分开考虑啊。实际中会在什么场景下使用呢？
最容易理解的是汽车的路噪。振动从轮胎→悬架→车身面板传递，在车厢内辐射出声音。追踪这种“结构→声学”的连锁反应是FEM-BEM耦合的经典应用。除此之外，压缩机的噪声、家电的电机声、工程机械的环境噪声等也可以用这种方法预测。
听到FEM-BEM耦合感觉很难，但原来是输入结构振动、输出声音这么简单的事啊。
概念虽然简单，但需要根据频率范围区分使用不同的方法。低频（~500 Hz）用FEM-BEM，中高频（500 Hz~）用SEA（统计能量分析），气动噪声用FW-H法，根据目的不同，工具各有其适用领域。先把这个整体框架记在脑子里，后面的内容就更容易理解了。
亥姆霍兹方程
那么请从具体的数学公式开始讲解。描述声场的基本方程是什么？
出发点是波动方程。对于声压 $p(\mathbf{x}, t)$：
这里 $c$ 是声速（空气中约343 m/s）。将其转换到频域，就得到角频率 $\omega$ 下振动的稳态声场所满足的亥姆霍兹方程：
$k$ 是波数呢。频率越高 $k$ 越大，波长就越短。这似乎直接关系到网格的精细程度。
没错。经验法则是波长 $\lambda = c/f$ 对应每波长至少6个单元（如果是二阶单元则是3个）。例如1000 Hz时 $\lambda \approx 0.34$ m，所以单元尺寸需要控制在约57 mm以下。频率升高导致网格数量爆炸性增长，这是噪声预测的宿命。
瑞利积分
求解亥姆霍兹方程最简单的方法有吗？
对于嵌在无限刚性壁中的振动面（障板面）的声辐射，可以使用瑞利积分。由表面的法向速度 $v_n(\mathbf{y})$ 直接计算任意点 $\mathbf{x}$ 的声压：
这里 $r = |\mathbf{x} - \mathbf{y}|$ 是声源点到接收点的距离，$\rho_0$ 是空气密度。$e^{-jkr}/r$ 是格林函数，表示点声源发出的球面波。像扬声器的辐射模式计算，用这个就足够了。
原来需要障板面这个条件啊。像汽车发动机这样复杂的3D形状该怎么办呢？
这时就轮到基尔霍夫-亥姆霍兹积分方程和BEM登场了。这是能处理任意封闭曲面辐射的更通用的公式化方法。
基尔霍夫-亥姆霍兹积分方程与BEM
这是BEM的核心部分吧。会得到什么样的式子呢？
对亥姆霍兹方程应用格林定理，就得到基尔霍夫-亥姆霍兹积分方程。对于外部区域（辐射问题）：
$G(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \dfrac{e^{-jk|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}}{4\pi|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}$ 是三维自由空间的格林函数。$c(\mathbf{x})$ 是在边界上为 $1/2$、在外部区域内为 $1$ 的系数。因为 $\partial p/\partial n = j\omega\rho_0 v_n$，所以代入结构FEM求得的表面速度 $v_n$，就能求出声压 $p$。
与需要对整个3D空间划分网格的FEM不同，BEM只需要表面网格就行了吧。这是很大的优势吗？
是的。对于外部辐射问题，如果用FEM，声音会传播到远方，所以需要划分巨大的空气区域网格，还要设置无反射边界（如PML等）。而BEM只需要表面网格，并且辐射条件（索末菲条件）会自动满足。对于像汽车通过噪声这样的外部辐射问题，BEM具有压倒性优势。
声功率级与SPL
噪声预测最终的评价指标是什么？我知道要输出“多少dB”，但是…
主要有两个指标。首先是声压级（SPL），是接收点声压与基准值的比较：
其次是声功率级（$L_W$），是声源本身辐射能量的指标，不依赖于观测位置：
声功率 $W$ 通过对振动表面的声强 $I$ 进行面积分求得：
SPL是“某个地方有多吵”，$L_W$ 是“声源发出了多少声音”。看来区分使用很重要啊。
没错。从标准来看，环境噪声的限值通常用SPL规定，但噪声源性能比较则使用 $L_W$。ISO 3744和ISO 3745规定了声功率的测量方法，所以仿真结果与实验的比较大多在这个框架下进行。
各项的物理意义
- 亥姆霍兹方程 $\nabla^2 p + k^2 p = 0$：空间压力变化（$\nabla^2 p$）与波传播（$k^2 p$）的平衡。$k$ 越大（频率越高），空间变化越剧烈。日常例子：泳池水面波，波长越短，波纹图案越细密，原理相同。
- 格林函数 $G = e^{-jkr}/(4\pi r)$：表示从一点扩散的球面波的振幅衰减。$1/r$ 是几何扩散引起的衰减。向水面投小石子时，波纹随扩散而减弱，就是这种 $1/r$ 衰减。
- 基尔霍夫-亥姆霍兹积分的两项：第一项是面上的声压分布（双层势）的贡献，第二项是面上的速度分布（单层势）的贡献。像扬声器振膜这样速度占主导的情况，第二项是主角。
- 声强 $I_n = \frac{1}{2}\text{Re}[p v_n^*]$：声压与质点速度的乘积。表示声能流过表面的方向和大小。即使声压大，如果速度与相位不一致，能量也无法传递——这是仅看SPL无法看到的信息。
假设条件与适用范围
- 线性声学：假设声压远小于大气压。SPL > 150 dB 的爆炸声或喷气排气近场，非线性效应不可忽略
- 均匀介质：声速 $c$ 和密度 $\rho_0$ 在空间上恒定。存在温度梯度或气流时，需要非均匀介质的公式化
- 稳态分析：亥姆霍兹方程以单一频率的稳态振动为前提。对于瞬态冲击声或脉冲声，需要直接求解时域波动方程
- BEM的假设：物体表面为封闭面。对于开放端或薄板结构，需要“薄膜BEM”或“间接BEM”等特殊公式化
- SEA的假设：模态密度足够高（1/3倍频程带宽内3个模态以上）。低频时统计假设不成立
量纲分析与单位制
| 物理量 | SI单位 | 典型值·备注 |
|---|---|---|
| 声压 $p$ | Pa (= N/m²) | 听觉阈值 20 μPa = 0 dB，痛觉阈值 20 Pa = 120 dB |
| 声速 $c$ | m/s | 空气中 343 m/s (20°C)，水中 约1480 m/s |
| 波数 $k$ | rad/m | 1 kHz → $k \approx 18.3$ rad/m |
| 声功率 $W$ | W | 基准值 $10^{-12}$ W，普通对话 $\sim 10^{-5}$ W |
| 声强 $I$ | W/m² | 基准值 $10^{-12}$ W/m² |
| 空气密度 $\rho_0$ | kg/m³ | 1.225 kg/m³ (海平面，15°C) |
“感觉吵 ≠ dB值大”——心理声学与物理量的差异
噪声预测仿真计算的是声压级（dB），但人是否感觉“吵”并不仅仅由物理量决定。例如，与60 dB的稳定空调声相比，即使是50 dB但断断续续的蜂鸣声有时会带来更强的压力感。这是因为频率特性、纯音性（tonality）、波动快慢（粗糙度）等会影响感知。汽车行业中，除了dB，将“心理声学指标”（响度 sone、尖锐度 acum、粗糙度 asper）设定为目标值的OEM正在增加。在CAE领域，也从单纯的dB预测向“音质预测”转变，Simcenter 3D、HEAD acoustics ArtemiS等工具正在加强与心理声学评估的联动。
数值解法与实现
结构振动FEM要点
请先讲解第一阶段结构振动的解法。和普通的FEM不一样吗？
基本是一样的，但有噪声预测特有的要点。目标是通过强迫振动的频率响应分析，输出表面的法向速度 $v_n(\omega)$。FEM的运动方程为：
求得位移 $\mathbf{u}$ 后，表面速度可由 $v_n = j\omega\, \mathbf{u} \cdot \mathbf{n}$ 得到。实际工作中重要的是阻尼模型的选择。瑞利阻尼（$\mathbf{C} = \alpha\mathbf{M} + \beta\mathbf{K}$）虽然方便，但在宽频带内阻尼比会非物理地变化。汽车的NVH分析中，通常根据频率设置实测的模态阻尼。
阻尼有偏差会直接影响声压啊。也就是说，结构侧也会影响声学侧的精度。
没错。阻尼比只要变成实际值的两倍，共振峰的SPL就可能变化6 dB之多。所以，在结构FEM阶段，通过实验模态分析充分确认相关性（MAC值），是决定噪声预测可靠性的关键。
BEM公式化
如何数值求解基尔霍夫-亥姆霍兹积分方程呢？
将表面 $S$ 分割成 $N$ 个边界单元，对积分方程进行离散化。写成矩阵形式：
$\mathbf{p}$ 是节点声压向量，$\mathbf{q} = \partial p/\partial n = j\omega\rho_0 v_n$ 是法向声压梯度。由于从结构FEM已知 $v_n$，所以 $\mathbf{q}$ 是已知的，求解这个联立方程就能得到表面声压 $\mathbf{p}$。知道了表面声压，就能通过积分计算任意外部点（场点）的声压。
FEM的刚度矩阵是稀疏矩阵，但BEM的 $\mathbf{H}$ 和 $\mathbf{G}$ 是怎样的呢？
问得好。BEM的矩阵是稠密矩阵（满矩阵）。因为所有节点都与所有其他节点相互作用。$N$ 个节点就是 $N \times N$ 的满矩阵，内存占用 $O(N^2)$，直接求解复杂度 $O(N^3)$。这就是大规模问题中BEM的瓶颈，后面会讲到用FMM-BEM来解决。
FEM-BEM耦合
结构FEM和BEM是如何连接起来的？有单向和双向之分对吧？
单向耦合（弱