缩约模型（ROM）手法 — POD·Galerkin射影至数字孪生连携

缩约模型（ROM）是什么

POD＋Galerkin射影的原理

1. 快照收集 — 用全模型（FEM/CFD）在多个时刻或参数条件下求解，获取解向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_K$
2. POD基底提取 — 对快照矩阵进行奇异值分解（SVD），获取支配性模式 $\boldsymbol{\phi}_1, \ldots, \boldsymbol{\phi}_r$。其中 $r \ll N$（$N$为全模型自由度数）
3. Galerkin射影 — 将解近似为 $\mathbf{u} \approx \boldsymbol{\Phi} \hat{\mathbf{u}}$（$\boldsymbol{\Phi} = [\boldsymbol{\phi}_1, \ldots, \boldsymbol{\phi}_r]$），将原方程 $\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}} + \mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{f}$ 射影至：

$$\hat{\mathbf{M}}\ddot{\hat{\mathbf{u}}} + \hat{\mathbf{K}}\hat{\mathbf{u}} = \hat{\mathbf{f}}$$

其中 $\hat{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\Phi}^T\mathbf{M}\boldsymbol{\Phi}$, $\hat{\mathbf{K}} = \boldsymbol{\Phi}^T\mathbf{K}\boldsymbol{\Phi}$, $\hat{\mathbf{f}} = \boldsymbol{\Phi}^T\mathbf{f}$。矩阵规模从 $N \times N$ 降至 $r \times r$，计算时间可缩短数个数量级。

Krylov法·数据驱动型ROM（DMD·SINDy）

• Krylov子空间法 — 通过传递函数的矩匹配构成基底。对线性时不变系统（LTI）特别有效，频率响应重现性高。在电子回路ROM化中经常使用
• DMD（Dynamic Mode Decomposition） — 从快照数据推定线性算子。即使不了解控制方程，仅从数据就能构建ROM。在流体非定常现象分析中很受欢迎
• SINDy（Sparse Identification of Nonlinear Dynamics） — 通过稀疏回归从数据反演控制方程本身。也适用于非线性系统

参数化ROM与设计空间探索

在优化循环中用pROM替代每次调用全FEM，设计空间探索速度可提升100～1000倍。这就是"用ROM高速探索设计空间"的含义。

商用工具中的实现

• Ansys Twin Builder — 从Ansys Mechanical/Fluent结果自动生成ROM，嵌入系统仿真环境。主要用于数字孪生
• Siemens Amesim — 将3D FEM的ROM嵌入1D系统仿真。在汽车动力传系热管理等领域有实绩
• COMSOL Application Builder — 可将COMSOL模型ROM化后作为Web应用发布
• MORe（开源） — 基于POD/Krylov的模型缩约库。支持MATLAB/Python

特别是Ansys Twin Builder，可将ROM导出为FMU（Functional Mock-up Unit）格式，与其他仿真环境或PLC（可编程逻辑控制器）连接。

精度保证与今后课题

• SVD奇异值衰减 — 若奇异值快速衰减，少数模式就能获得足够精度。以能量保持率99.9%以上为目安
• 基于残差的事后误差评估 — 将ROM解代入全模型方程评估残差。无需重新求解全模型
• 与测试用例比照 — 在未用于学习的参数点比较全模型与ROM

课题包括强非线性（接触、塑性、乱流等）的处理仍有难度。通过DEIM（Discrete Empirical Interpolation Method）或超约化法效率化非线性项计算的研究正在推进。