Code_Aster结构分析
理论：三种分析类型与用于对照的解
概述
Code_Aster的基本用法我大致懂了。结构分析中，除了静力分析还能做什么？
最常用的是静力分析、模态分析和线性屈曲三种。静力分析（MECA_STATIQUE）求载荷下的变形和应力。模态分析（CALC_MODES）求结构容易在哪些频率振动。线性屈曲同样用CALC_MODES求解，但用“受应力状态下刚度的变化（几何刚度）”代替质量，求载荷放大多少倍时结构会屈曲。三种分析都能复用同一网格和模型指定（AFFE_MODELE），这是Code_Aster方便的地方。不过各自所需的材料数据和容易出错的地方不同。本文通过三个有理论解的例题来确认这些差别。
三种分析的区别
| 分析 | 主要命令 | 所需材料数据 | 得到的结果 |
|---|---|---|---|
| 静力 | MECA_STATIQUE | E, NU | 位移、应力 |
| 模态 | ASSEMBLAGE, CALC_MODES | E, NU, RHO | 固有频率、振型 |
| 线性屈曲 | MECA_STATIQUE → RIGI_GEOM → CALC_MODES (MODE_FLAMB) | E, NU | 相对参考载荷的屈曲倍数 |
用于对照的理论解
带孔板拉伸（有限宽板的应力集中系数，Heywood近似式）：
悬臂梁弯曲振动（欧拉-伯努利梁）：
柱的屈曲（欧拉公式，K为有效长度系数）：
P为载荷，W、d、t为板宽、孔径和板厚，E为杨氏模量，I为截面惯性矩，ρ为密度，A为截面积，L为长度。
证明孔边应力变为三倍的论文
无限大板上有小圆孔时，孔边应力是远处应力的三倍，这是德国工程师基尔施于1898年由弹性理论导出的。这个“三倍”在有限元法诞生之前很久就成为设计常识，如今是有限元求解器验证例题的经典。板宽有限时，以去掉孔后的净截面应力为基准的系数小于3，孔径为板宽两成时约为2.51。
算例
单位统一为N、mm、MPa、t（吨）。钢取E = 210,000 MPa，泊松比0.3，密度7.85×10⁻⁹ t/mm³。
例1：带孔板拉伸（静力分析）
宽100 mm、厚10 mm的板中央有直径20 mm的孔，用20 kN拉伸。
| 量 | 值 |
|---|---|
| 远处应力 P/(W t) | 20.0 MPa |
| 净截面平均应力 P/((W−d) t) | 25.0 MPa |
| 应力集中系数 Kt,net | 2.512 |
| 孔边最大应力 | 62.8 MPa |
| 参考：无限板（基尔施）3倍 | 60.0 MPa |
在Code_Aster中利用对称性建立1/4模型，在对称面上用DDL_IMPO将法向位移设为0，在端面用FORCE_FACE或PRES_REP施加载荷。用CALC_CHAMP求节点应力（SIGM_NOEU），读取孔边的值。逐步加密单元，数值接近62.8 MPa并不再变化，验证即完成。
例2：悬臂梁固有频率（模态分析）
宽50 mm、高100 mm、长1,000 mm的钢悬臂梁。有两个弯曲方向，分别求各自的弯曲固有频率。
| 弯曲方向 | 一阶 | 二阶 | 三阶 |
|---|---|---|---|
| 薄方向（宽50 mm方向） | 41.8 Hz | 261.8 Hz | 733.1 Hz |
| 厚方向（高100 mm方向） | 83.6 Hz | 523.6 Hz | 1,466.1 Hz |
CALC_MODES按从小到大输出结果，两个方向交错排列：41.8 Hz（薄方向一阶）、83.6 Hz（厚方向一阶）、261.8 Hz……三维单元还会出现扭转和轴向模态。先看振型确认方向和阶次，再与理论值比较。
做模态分析时一阶得到0.0000418 Hz。静力分析的挠度是对的，为什么？
应怀疑密度单位。在N·mm·MPa单位制中，由力＝质量×加速度，质量单位是吨。所以钢的密度必须输入7.85×10⁻⁹（t/mm³），而不是7850（kg/m³的数值）。按7850输入时质量变为10¹²倍，频率与其平方根成反比，即变为百万分之一。41.8 Hz变成0.0000418 Hz就是这个原因。静力分析不使用密度，所以静力分析中看不出这个错误。开始做模态分析时，先确认悬臂梁一阶是否为41.8 Hz，就能立刻发现单位错误。
例3：柱的屈曲载荷（线性屈曲）
20 mm见方、长1,000 mm的钢柱，下端固定，上端施加1 kN的压缩参考载荷。
| 量 | 值 |
|---|---|
| 截面惯性矩 | 13,333 mm⁴ |
| 屈曲载荷（一端固定一端自由） | 6,909 N |
| Code_Aster特征值（屈曲倍数） | 约6.91 |
| 屈曲时压应力 | 17.3 MPa |
| 参考：两端铰支屈曲载荷 | 27,635 N |
| 参考：屈服载荷（235 MPa） | 94,000 N |
屈曲时应力17.3 MPa远小于屈服应力235 MPa，所以该柱在屈服前就因弹性屈曲而破坏。在Code_Aster中，先在1 kN下做静力分析（MECA_STATIQUE），由其应力用CALC_MATR_ELEM的OPTION='RIGI_GEOM'生成几何刚度，再用CALC_MODES的TYPE_RESU='MODE_FLAMB'求解。得到的特征值（CHAR_CRIT）乘以参考载荷就是屈曲载荷。
屈曲特征值出现了负值。计算失败了吗？
不是失败，而是表示载荷方向相反。屈曲特征值是“参考载荷放大多少倍时屈曲”，负值表示“载荷反向时在该倍数下屈曲”。检查载荷的符号和方向，看是否本想压缩却施加了拉伸。另外，线性屈曲是不考虑初始几何缺陷和材料屈服的理想值，实际设计中还要用带初始挠度的非线性分析（STAT_NON_LINE）确认屈曲载荷下降多少。特别是屈曲应力接近屈服应力的粗短柱，直接使用线性屈曲值是偏危险的。
实务流程
- 确定单位制，并在输入文件开头用注释写明（N、mm、MPa、t等）。
- 在静力分析中确认挠度和反力与手算一致，并检查反力合计是否等于载荷。
- 模态分析中加入密度，先用悬臂梁等确认频率数量级，再进行正式模型。
- 屈曲分析中把参考载荷设为单位载荷，使特征值可直接读作倍数。
- 确认加密网格后结果不再变化，并参考使用相同功能的官方验证例题。
“一阶模态不在预想的方向”
只考虑加载方向（高100 mm方向）时，容易以为例2的梁一阶是83.6 Hz。但实际一阶是沿薄方向摆动的41.8 Hz。若设备转速为45 Hz，只看厚方向会判断“远低于一阶83.6 Hz”，实际上却会在41.8 Hz附近振动变大。模态分析正是为了发现意料之外方向的模态，结果一定要连同振型一起确认，而不只是看频率数字。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| mm单位下密度用7850 | 频率变为百万分之一 | 7.85×10⁻⁹ t/mm³ |
| 漏输RHO | 无法组装质量矩阵而报错 | 在ELAS中加RHO |
| 不看振型 | 漏看意外方向的一阶 | 振型与频率成对确认 |
| 屈曲载荷方向反了 | 特征值为负 | 确认为压缩 |
| 直接使用线性屈曲值 | 偏危险的评估 | 带初始缺陷的非线性分析 |
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