波动·音响的基础 — 波动方程·音响压·NVH·结构音响耦合至完
波动是什么 — CAE中的波动现象
波动是「能量和信息通过媒质传播的现象」。在CAE世界中，它支配着非常广泛的物理现象，如音响分析（NVH）、超声波无损检测、冲击波、电磁波传播等，是统一的数学框架。
NVH分析就是「Noise, Vibration, Harshness」，与振动分析是不同的东西吗？有什么区别？
简单来说，振动分析是观察结构（固体）的变形，而NVH则综合处理由此产生的声音和乘坐舒适性问题。以汽车NVH为例，发动机燃烧力使车身结构振动（Vibration），这种振动使车室内的空气摇晃产生声音（Noise），以及路面凹凸带来的冲击感（Harshness）。在CAE中，振动由结构FEM负责，噪声由音响FEM/BEM或统计能量分析（SEA）负责。因此波动·音响理论对理解「振动如何转化为声音」的机制至关重要。
1.1 波动的分类
| 种类 | 媒质位移方向 | 例子 |
|---|---|---|
| 纵波（Longitudinal） | 与传播方向相同（疏密波） | 空气中的声波、固体中的压缩波（P波） |
| 横波（Transverse） | 与传播方向垂直 | 电磁波、固体中的剪切波（S波） |
| 表面波（Surface wave） | 沿表面衰减 | 地震的Rayleigh波、超声检测 |
| 弯曲波（Flexural） | 板·梁的面外位移 | 车身面板的振动、噪声辐射的主要成因 |
1.2 波数·波长·频率·相速度的关系
$c$ 是相速度，$f$ 是频率（Hz），$\lambda$ 是波长（m），$\omega = 2\pi f$ 是角频率（rad/s），$k = 2\pi/\lambda$ 是波数（rad/m）。音速 $c_0 \approx 340\,\text{m/s}$（20°C空气）时，1000 Hz的声波波长为 $\lambda = 0.34\,\text{m}$。这与汽车车身面板尺寸同数量级，是结构与音响强烈耦合的原因之一。
1.3 色散性与非色散性
空气中的声波是非色散的（相速度与频率无关）。而板的弯曲波具有色散性，高频传播速度更快（$c_b \propto \sqrt{f}$）。这种色散性是巧合效应（后述）的原因。
波动方程
2.1 一维波动方程的推导
从弦的微小单元运动方程出发（张力 $T$、线密度 $\rho_L$）：
音响压 $p'$ 也遵循同形方程（由连续方程和动量守恒推导）：
2.2 D'Alembert解
一维波动方程的通解是「右向进行波」和「左向进行波」的叠加：
对于调和波（正弦波）：$u(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} + B e^{i(-kx - \omega t)}$。复指数表示在数值计算中更便利，最后取实部。
2.3 双曲型方程与热方程的本质区别
波动方程和热传导方程看起来很像，有什么区别吗？
看起来相似但物理意义完全不同。波动方程是 $\partial^2 u/\partial t^2 = c^2 \nabla^2 u$，具有2阶时间导数（双曲型）。热方程是 $\partial T/\partial t = \alpha \nabla^2 T$，具有1阶时间导数（抛物型）。双曲型方程中信息以有限速度 $c$ 传播——敲击声从音源到听者需要时间差。抛物型方程中信息瞬间以无限速传播——热传导的精确解中，加热系统某处的瞬间在无穷远处也会产生温度变化（虽然很微小）。数值求解方法也不同，双曲型会出现CFL条件，抛物型可用隐式方法稳定求解。
2.4 三维波动方程（Helmholtz方程）
假设时间调和振动（角频率 $\omega$ 的稳态），设 $p'(x,t) = \hat{p}(x) e^{-i\omega t}$ 分离，得到Helmholtz方程：
这是音响有限元法（Acoustic FEM）和边界元法（BEM）的支配方程。
音响的基础
3.1 音速与媒质
$B$ 是体积模量。空气中的音速随温度变化，$c_0 \approx 331.3 + 0.606\,T_C\,\text{[m/s]}$（$T_C$ 为摄氏度）。20°C时约343 m/s，1000°C燃烧气中约600 m/s。
| 媒质 | 音速 (m/s) | 说明 |
|---|---|---|
| 空气（20°C） | 343 | NVH分析基础 |
| 水（20°C） | 1481 | 超声检测·水下声学 |
| 钢（纵波） | 5900 | 超声探伤·冲击波 |
| 混凝土 | 3000〜4000 | 建筑音响·结构健全性评估 |
| CFRP（面内） | 8000以上 | 各向异性依赖性强 |
3.2 音响阻抗与反射
特征音响阻抗（固有音响阻力）：
空气：$Z_0 \approx 410\,\text{Rayl}$，水：$Z_0 \approx 1.5 \times 10^6\,\text{Rayl}$。阻抗差越大反射率越高。这就是空气–水界面99.9%的声能反射的原因，也是超声探测中需要耦合剂（油脂等）的原因。
3.3 声压级与音响功率级
参考声压 $p_\text{ref} = 20\,\mu\text{Pa}$（人类可听限界对应）。音响功率级：
汽车设计规范上写着「发动机噪声65dB以下」之类的，CAE如何计算这个dB？
首先用Ansys Mechanical或Abaqus的音响分析计算车室内的声压分布（Pa），按频率求出驾驶员位置的 $p_\text{rms}$。然后用上述公式转换为dB。但「人类如何感受」还需进一步应用A特性滤波器（dBA）进行评估，这是通常做法。相同dB的低频"砰"声和高频尖锐声听感不同，需要用听觉补正的dBA来比较。从CFD计算的流场噪声源，可用Ffowcs Williams-Hawkings（FWH）方程计算远场声压。排气音和空调风扇噪声分析中经常使用这种方法。
驻波与共鸣
4.1 一维驻波
固定端（$x = 0$）和自由端（$x = L$）的管的音响固有模式：
两端固定（或两端开放）的管：
例如汽车排气管（长度 $L = 1.5\,\text{m}$、$c_0 = 340\,\text{m/s}$）的第一固有周频约为 $f_1 = 340/(4 \times 1.5) \approx 57\,\text{Hz}$。若发动机燃烧频率与此一致，消声器将共鸣，排气噪声增大。
4.2 三维矩形室的固有周频
$m, n, p$ 分别是 $x, y, z$ 方向的模式阶次。室内音响（音乐厅·录音棚·汽车车室）的低频模式分布由此决定。典型乘用车车室（$L_x \approx 1.8$、$L_y \approx 1.2$、$L_z \approx 1.0\,\text{m}$）的最低固有周频约90 Hz。
4.3 巧合效应与音响透过损失
板的弯曲波速度 $c_b = (2\pi f)^{1/2} (B/\rho_s)^{1/4}$（$B$ 为弯曲刚度）与音速 $c_0$ 一致的频率称为巧合频率：
巧合效应在实务中会产生什么问题？
这个频率处隔音性能（传输损失TL）会形成谷值，导致隔音性能急剧恶化。例如，2mm厚钢板面板的巧合频率约为6kHz。若这与汽车高速行驶时风切声进入车内的频率带重合，就成为问题。对策包括改变板厚（移动 $f_c$）、使用非对称层积材料、增加制振材料的损失因子等。通过Ansys Acoustic分析计算面板的TL随频率变化，可在设计阶段确认巧合效应引起的谷值位置。
散射·衍射·反射
5.1 Snell定律（音响版）
从媒质1（音速 $c_1$）向媒质2（音速 $c_2$）的声波入射：
当 $c_2 > c_1$ 时发生全反射（全反射临界角 $\theta_c = \arcsin(c_1/c_2)$）。水到钢板的声波入射易发生全反射，影响超声探伤设计。
5.2 屏障隔声效能
在音源和受音点间放置障壁的隔声效能（Maekawa近似式）：
$\delta$ 是Fresnel数分子（音源·障壁顶·受音点的路径差），$N$ 是Fresnel数。用于道路防音壁设计和工厂降噪，但高精度需用音响BEM或衍射积分。
5.3 室内音响与混响时间
Sabine混响时间：
$V$ 为室体积（m³），$\alpha_i$ 为各面吸音率，$S_i$ 为面积（m²）。音乐厅通常 $T_{60} = 1.8 \sim 2.2\,\text{s}$，会议室约 $0.4 \sim 0.6\,\text{s}$。
结构振动与音响辐射（结构音响耦合）
6.1 振动结构辐射声音的机制
表面以速度 $v_n$ 振动的结构推动周围流体产生音响压 $p$，这就是结构音响耦合（Vibroacoustics）。耦合强度由音响阻抗比决定：
比值小（重结构·轻流体，如空气-钢板）耦合弱，比值大（轻结构·重流体，如水中薄板）耦合强。汽车NVH中耦合较弱，通常采用单向耦合（结构解析→音响解析）足够。
6.2 辐射效率
辐射效率 $\sigma$ 是「实际辐射音响功率」与「全面同相位振动的刚体活塞辐射功率」的比：
低阶振动模式辐射效率低（体积速度相消），高阶模式在巧合频率附近 $\sigma \to 1$。
6.3 SEA（统计能量分析）的概念
高频域（波长远小于系统特征尺度）中，不考虑单个模式而用SEA处理「子系统间能量流」更有效：
$P_{12}$ 是子系统1到2的能量流，$\eta_{12}$ 是耦合损失因子，$E_1, E_2$ 为各子系统能量。1000 Hz以上的车体高频噪声、船舶机舱噪声、飞机客舱噪声分析中SEA是标准方法。
那FEM和SEA怎么选择呢？
一般而言，「波长大于系统代表尺寸1/6」的低频用FEM，反之高频用SEA。边界约在500〜1000 Hz，因对象而异。汽车大多这个范围。这个边界域（中频）最困难——FEM计算成本爆炸，SEA统计假设不成立。专门的混合FEM/SEA方法实现在VA One（ESI Group）等软件中。实务中先确定驾驶循环的主要问题周频，再选择方法。
数值音响分析
7.1 有限元法（FEM）的音响分析
从Helmholtz方程的弱形式得到音响FEM的离散方程：
$\mathbf{M}_a$：音响质量矩阵（体积积分），$\mathbf{C}_a$：吸音边界阻尼矩阵，$\mathbf{K}_a$：音响刚度矩阵。与结构的耦合为：
$\mathbf{L}$ 是结构-音响耦合矩阵（界面法向耦合）。Ansys Mechanical使用FLUID30/FLUID220/FLUID221单元，Abaqus使用AC2D4/AC3D4单元。
7.2 边界元法（BEM）的优势
BEM仅需对边界（表面）划分网格，自动处理无限音响领域，特别适合外场音响（消声器外噪声·室外噪声分布）。自动满足Sommerfeld辐射条件。但矩阵非对称稠密，计算费用 $O(N^2) \sim O(N^3)$（可用快速多极法改善）。
7.3 非反射边界条件（PML·吸收BC）
FEM处理无限域需在计算域边界用完全匹配层（PML）人工吸收波。PML内：
$\sigma_i$ 是边界吸收系数。Ansys Acoustics、Comsol、OpenFOAM音响模块都提供。
实务NVH分析要点
8.1 频率带与分析方法选择
| 频率带 | 推荐方法 | 主要对象 |
|---|---|---|
| 〜200 Hz | 结构FEM + 音响FEM | 怠速振动·低频共鸣音·低频闷音 |
| 200〜1000 Hz | FEM + SEA混合 | 路面噪声·齿轮噪声·排气音 |
| 1000 Hz〜 | SEA/统计方法 | 风切声·吸音材评估·高频透过损失 |
8.2 减衰材·吸音材的建模
粘弹性制振片（CLD: Constrained Layer Damping）的损失因子：
实务中用Obata式等解析解，或FEM中使用复杨氏模量（$E^* = E(1 + i\eta)$）评估损失。
8.3 传递路径分析（TPA）与CAE联动
TPA（Transfer Path Analysis）量化「从音源到受音点，哪条路径贡献多少」。CAE计算频率响应函数（FRF）矩阵，与实测的力输入乘积预测合成音压：
$H_{pk}$ 是路径 $k$ 到评估点 $p$ 的传递函数，$F_k$ 为路径 $k$ 的输入力。通过FEM计算FRF并用实测力合成车内音压，可在设计阶段找出「加强哪个连接最有效」。
TPA在实际汽车开发中也用吗？
已是标准工具。量产车开发试制车完成后首先用TPA实测「各悬挂点贡献多少噪声」。最近的OTPA（Source TPA）仅从实走行数据无需模态参数。与CAE结合时，设计前用车体FEM计算各路径传递函数，输入供应商动力总成的振动数据预测车内音压。超过目标值的路径反馈给结构强化或防振减振器改进。这是标准流程。
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