理论、主要公式
$$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$$
伯努利定理。P：静压 [Pa]、ρ：流体密度 [kg/m³]、v：流速 [m/s]、h：高度 [m]
$$Q = C_d A_2 \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho\!\left[1-(A_2/A_1)^2\right]}}$$
文丘里流量计实用式。C_d：流量系数（文丘里≈0.98、孔板≈0.61）
$$v = \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}} \quad (\text{皮托管})$$
从停滞点压力（全压）与静压的差 ΔP 计算流速的原理式
伯努利定理应用模拟器介绍
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伯努利定理就是"P + ½ρv² = const"这样学过的，管子收缩时压力真的会下降吗？感觉有点不直观……
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想要直观理解的话，试试捏住淋浴软管。捏住的地方水冲得更快对吧？这正是伯努利定理。当管路收缩时，根据连续方程（A₁v₁ = A₂v₂），流速增加。流速增加后，伯努利定理告诉我们压力下降。简单说就是"用速度换压力"。用这个工具，把"收缩部管径 D₂"设得更小，你会看到"压力降 ΔP"的数字急剧上升。
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明白了！可是这个压力降在实际工厂配管中有什么用呢？
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用来测流量啊。比如在水处理厂或化工厂，需要实时知道"现在有多少液体在流动"。这时在管路中间装一个文丘里管，用压力计在上游和收缩部测两个点的压力。压力差（ΔP）就能算出流量：Q = Cd·A₂·√(2ΔP/ρ·A₁²/(A₁²-A₂²))。这个工具的"设备比较"标签页，可以看文丘里管、喷嘴和孔板三种设备在精度（Cd）和永久压力损失上的差别。
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"径比灵敏度分析"标签页里，径比越大 ΔP 增长越陡峭。为什么压力差是四次方增长呢？
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由连续方程得 v₂ = v₁·(A₁/A₂) = v₁·(D₁/D₂)²。压力降是 ΔP = ½ρ(v₂²-v₁²)，所以 v₂ 以 D 比的平方增长，ΔP 则以 v₂² 为主，实际上就是 (D₁/D₂)⁴ 了！换句话说，径比翻倍，压力差可能增大16倍。这让流量计的灵敏度很高，但同时也意味着有空化风险——压力太低会让液体局部沸腾产生气泡。所以径比的选择需要在灵敏度和空化之间找平衡。
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"设备比较"里有"永久压力损失"这一列，什么意思？
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文丘里管的收缩后是缓缓的扩散，所以在下游大部分压力能恢复。但孔板是薄薄的穿孔板，收缩后有急剧的扩大，产生乱流，能量变成热散失掉——这就是"永久压力损失"。文丘里贵，但损失小，长期运行成本（泵的电费）便宜。孔板便宜，但损失大。大口径长期运用的配管，投资虽然多，装文丘里最划算。小规模测多个点用孔板更实惠。
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原来如此，是成本效益问题啊。我注意到调整"流体密度"时，ΔP 也随之变化，用空气（约1.2 kg/m³）的话，压力降比水（约1000 kg/m³）小得多。这有什么重要意义吗？
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很好的观察！因为 ΔP = ½ρ(v₂²-v₁²)，密度越小，同样的流速差产生的压力差越小。空气密度是水的1/833左右，所以同样形状的文丘里，用空气的话 ΔP 只有水的 1/833。这就是为什么风速计（空气流速测）要用热线流速计或超声波，而不能用普通的压力差式流量计——感度不够。反过来，高压气体（密度大）或超音速流就压缩性不能忽视，不符合这个模拟器假设的不可压缩条件——这也是伯努利定理的适用边界啊。
3个标签页的用法
📈 管内压力、流速分布：沿文丘里管形状，显示流速（蓝线）和静压（红线）的轴向分布。在收缩部（位置0.35～0.60）流速上升、静压急剻，然后在扩散部压力恢复，可以看到整个过程。
🔬 径比灵敏度分析：固定径比 D₁/D₂ 为 2.0 / 3.0 / 4.0，叠加 ΔP-v₁ 曲线对比。黄色圆点表示当前设置值的位置。可视化径比的四次方非线性增长特性。
📊 设备比较：对文丘里管、喷嘴、孔板三种设备比较测量ΔP、永久压力损失、流量系数Cd。改变上游流速或管径时，柱状图的高度会变化，直观看出各种设备的权衡。
常见问题
什么是伯努利定理？
对定常、不可压缩、无粘性流体，沿流线有 P + ½ρv² + ρgh = const 成立。管路收缩时由连续方程流速增加，伯努利定理说压力下降；管路扩大时流速减小、压力恢复。这个"速度与压力的权衡"是流量计、皮托管、飞机升力等的基础。
文丘里管如何测流量？
把连续方程 A₁v₁ = A₂v₂ 和伯努利方程联立，从压力差 ΔP 解出 v₂（收缩部流速）。实用公式为 Q = Cd·A₂·√(2ΔP / ρ·(1-(A₂/A₁)²))，其中 Cd 是流量系数（文丘里约0.98）。用压力计读出 ΔP，就能立刻算出流量。
皮托管的原理和用途是什么？
皮托管将流体迎面的速度减为零，形成停滞点，测得全压（静压+动压）。分别测全压和静压，差值就是动压 q = ½ρv²，从而 v = √(2q/ρ)。用于航空器对气速度计、风洞流速测量、烟囱排气流速测等。
孔板、喷嘴、文丘里管的区别？
都是差压式流量计，但特性不同。孔板（Cd≈0.61）：薄穿孔板，便宜、易装，但压力损失大。喷嘴（Cd≈0.95）：喷嘴形状，损失中等，对浆料液有抗性。文丘里（Cd≈0.98）：缓收缩和扩散，压力恢复好、永久损失小，但尺寸长、价贵。长期高流量应用用文丘里最经济。
伯努利定理不适用的条件？
以下情况需谨慎：①粘性损失大（低雷诺数、长管路）——需加上达西-韦斯巴赫摩擦损失项。②高速可压缩流（马赫数＞0.3）。③非定常流（阀门急开闭等）。④两相流（气液混）。这些需要更复杂的流体力学模型。
空化与压力降的关系？
文丘里收缩部的静压降低到该温度液体的饱和蒸汽压以下时，液体局部沸腾产生气泡（空化气泡）。气泡在下游压力升高时崩溃，产生冲击波，可导致管壁侵蚀、振动、噪音。径比越大，收缩部压力越低，空化风险越高。设计时用空化指数（σ）评估余量。
实际应用
工业实际应用例
航空航天工业中，喷气发动机燃料喷射喷嘴设计采用文丘里效应。例如普惠公司的涡轮风扇发动机内部装有精密燃料流量计，采用文丘里式设计，实现燃烧效率最优化。在化学工厂配管中，为监测腐蚀性流体的流量，采用文丘里管，在最小压力损失下达成高精度测量。半导体制造设备制造商在清洗设备中应用文丘里结构，使药液与纯水混合比稳定化。
研究、教育应用
大学流体力学实验课中，本模拟器作为伯努利定理可视化教材使用。例如工程学科学部实习中，实时观察管径比变化时压力分布的变化，用来推导流量系数、探讨湍流过渡条件等。在研究领域，航天机构对新型飞机燃油系统设计，应用文丘里管模拟来预测空化发生条件。学生可以通过径比灵敏度曲线自主探索最优形状。
与CAE解析的关联及实务定位
本模拟器在CAE工具（Fluent、STAR-CCM+）细致解析前的概念设计阶段用于初期参数筛选。例如汽车厂商在吸气歧管文丘里部设计时，先用本工具得到压力分布趋势，再设定详细三维解析的边界条件。实务中，作为试验计划法（DOE）的前置检讨，几秒内完成管径比与流量的灵敏度分析，可削减CAE解析试行次数70%。设计者能直观掌握物理现象，也成为现场工程师与解析部门的沟通工具。
常见误区和注意事项
"压力越低流速越快"是常见误解，但伯努利定理仅在定常、不可压缩、无粘性的理想条件下成立。实际文丘里管受流体粘性、乱流影响，压力恢复不完全，特别是急扩大部会发生分离导致能量损失，理论值和实测值会有偏差，需要留意。
"管径减小就一定压力下降"的想法也只在流量恒定时成立。模拟中上游流速或流体密度变化时，流量本身也在变化，所以改变径比不一定单调地改变压力降。径比灵敏度图表有时会出现某个径比处压力分布趋势逆转的情况，需要多角度参数观察来解读。
"设备比较中压力差最大的最优"的想法不准确。实设计中除压力损失外，空化发生风险、制造公差对灵敏度的影响也很重要。特别高流速域，局部压力低于蒸汽压会产生气泡，导致设备损伤或性能衰退，所以在评价时要留意压力分布的最小值。