参数设置
水平距离 D
m
从出发点到终点的横向距离
竖直下降 H
m
从出发点到终点的向下落差
物体质量 m
kg
不影响降下时间，只影响动能
重力加速度 g
m/s²
地球为9.81，月球为1.62，木星约为24.8
计算结果
—
最速降下时间 (s)
—
直线斜坡时间 (s)
—
时间缩短率 (%)
—
圆摆线角 θ_f (rad)
—
圆摆线径 a (m)
—
终端运动能 (J)
—
竞争动画 — 圆摆线 vs 直线斜坡
同时释放的两个珠子。粗曲线是圆摆线（最速降下曲线），细直线是直线斜坡。圆摆线珠子会先到达终点。
路径比较 — y坐标 vs x坐标
降下时间 vs 竖直下降 H
理论·主要公式
$$x=a(\theta-\sin\theta),\quad y=-a(1-\cos\theta),\qquad T=\theta_f\sqrt{\frac{a}{g}}$$
最速降下曲线是圆摆线。x、y 是圆摆线的参数表示，a 是径参数，T 是降下时间。因为初期的急速下降会获得速度，所以最快的路径不是直线而是圆摆线。
$$\frac{\theta-\sin\theta}{1-\cos\theta}=\frac{D}{H},\qquad a=\frac{H}{1-\cos\theta_f}$$
终端角 θ_f 由水平距离 D 和竖直下降 H 的比决定。左边关于 θ 单调递增，可用二分法求解唯一解。径 a 由 θ_f 确定。
$$v_{\text{end}}=\sqrt{2gH},\qquad t_{\text{line}}=\sqrt{\frac{2L^{2}}{gH}}$$
根据能量守恒，终端速度与路径无关相同。直线斜坡的降下时间由等加速运动求得（L 为直线长度）。