毛细上升模拟器 — 茹林定律高度与毛细压力计算

参数设置

管内径 d

毛细管的内侧直径

表面张力 σ

mN/m

20°C 水约为72.8，乙醇约为22

接触角 θ

液体与管壁的夹角。小于90°润湿上升，大于90°下降

液体密度 ρ

kg/m³

水998，乙醇789，水银13546

计算结果

—

管半径 r (mm)

—

毛细压力（拉普拉斯压力）(Pa)

—

毛细上升高度 h (mm)

—

弯月面曲率半径 (mm)

—

液柱质量 (mg)

—

上升 / 下降判定

—

毛细管与储液槽 — 上升动画

在浸入宽储液槽的细管中，液面稳定到平衡高度（或下降位置）。润湿液体的弯月面绘为凹形，不润湿液体绘为凸形。

上升高度 vs 管内径

上升高度 vs 接触角

理论与主要公式

$$h=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho\,g\,r}$$

茹林定律给出的毛细上升高度 h。σ：表面张力，θ：接触角，ρ：液体密度，g：重力加速度，r：管内半径。上升与管半径 r 成反比，接触角超过 90° 时给出的是下降（负值）而非上升。

$$\Delta p=\frac{2\sigma\cos\theta}{r}, \qquad r_m=\frac{r}{\cos\theta}$$

跨过弯曲弯月面的毛细压力（拉普拉斯压力）Δp 与弯月面曲率半径 r_m。当 cosθ = 0（θ = 90°）时曲率半径为无穷大，弯月面变为平坦。

$$m=\rho\,\pi r^{2}\,|h|$$

被抬升（或压下）液柱的质量 m，由管截面积 πr² 与上升高度绝对值 |h| 求得。

什么是毛细上升模拟器

🙋

理科课上我看到，把一根细玻璃管立在装水的盘子里，水会沿管子往上爬。没有泵也没有别的，水怎么会自己往上升呢？

🎓

问得好。那就是"毛细现象（毛细作用）"。关键在于两种力的较量。一种是附着力——液体与管壁之间的吸引力；另一种是内聚力——液体分子彼此之间的吸引力。水对玻璃的附着力比它自身的内聚力更强，所以水会"润湿"玻璃、沿壁向上爬，形成的弯曲弯月面再靠表面张力把整段液柱往上拉。

🙋

那水银也会这样往上爬吗？

🎓

恰好相反。水银的内聚力非常强，远大于它对玻璃的附着力。所以它不润湿玻璃，弯月面朝反方向弯曲（凸形），管内液面反而比管外更"低"。这就是"毛细下降"。决定上升还是下降的是接触角 θ：小于 90° 就润湿并上升，大于 90° 就不润湿并下降。把左边的接触角调到 150°，你会看到上升高度变成负值。

🙋

原来如此！那上升的高度由什么决定？把管子做得更细会怎样？

🎓

高度由茹林定律 h = 2σcosθ/(ρgr) 决定。要点是上升高度 h 与管半径 r 成反比。所以管子越细，上升就越显著。默认 0.5mm 的水管上升约 60mm，而内径 0.05mm 时能爬升到接近 600mm。看看下方的"上升高度 vs 管内径"图，那条陡降的曲线就很清楚了。

🙋

这么说，植物从根部把水吸上来也是毛细现象吗？

🎓

它是其中重要的一部分。植物的导管是很细的管子，毛细力帮助抬升水和养分。但仅靠毛细力把水送到高树顶端是不可能的——叶片蒸腾产生的吸力承担了大部分工作。同样的物理也出现在墨水渗入纸张、灯芯吸取燃料、水分穿过土壤与砖块上升——也就是建筑物"上升潮气"的成因。这是一个非常贴近生活、又很有深度的现象。

🙋

毛细现象也会成为"麻烦"吗？

🎓

会的。用细玻璃管测量液位时，毛细上升会让液面看起来比实际更高（或更低）。所以精密的压力计和滴定管都需要毛细修正。砖块与混凝土的上升潮气在建筑中也很棘手，办法是设置防潮层，把毛细通道物理切断。懂得这套物理，你既能利用它，也能防范它。

常见问题

毛细上升高度 h 由茹林定律 h = 2σcosθ / (ρgr) 计算，其中 σ 为表面张力，θ 为接触角，ρ 为液体密度，g 为重力加速度，r 为管内半径。高度由两种力的平衡决定：表面张力对弯曲弯月面的向上拉力，与被抬升液柱的重量。由于 h 与表面张力成正比、与管半径成反比，管越细，上升就越显著。

当接触角 θ 超过 90° 时，cosθ 变为负值，上升高度 h 也变为负值。这表示液面低于周围液面，即毛细下降。水银在玻璃管中就是典型例子：它不润湿玻璃，形成凸形弯月面，管内液面低于管外。当 θ 恰为 90° 时 cosθ = 0，既不上升也不下降。

毛细压力是跨过弯曲弯月面产生的压力差，Δp = 2σcosθ / r。对润湿液体（θ 小于 90°），弯月面为凹形，其下方液体压力低于大气压。正是这一压力差把液柱吸上来。半径越小，曲率越大，毛细压力也越大——这就是杨-拉普拉斯方程在管内的应用。

毛细现象随处可见：水和养分从植物根部上升到叶片，墨水渗入纸张、灯芯把燃料吸向火焰，水分通过土壤、砖块与混凝土的孔隙上升（建筑物中上升潮气的成因），以及毛巾、海绵的吸水。反过来，用细管测量液位时毛细上升会带来误差，必须加以修正。它也是多孔材料设计与干燥过程的基础。

实际应用

植物水分输送与农业：水和溶解的养分从植物根部沿茎向叶片移动的过程中，细小导管内的毛细力起着重要作用。土壤水分也通过土粒之间无数细小孔隙以毛细现象移动。在灌溉设计与旱地农业中，理解土壤的毛细上升高度是平衡根部供水与蒸发损失的关键。

建筑物上升潮气的防治：砖、砂浆与混凝土含有无数细孔，地下水分通过它们以毛细现象沿墙上升。这就是"上升潮气"，会导致涂层剥落、霉变与盐析。对策包括在基础中设置防潮层（DPC），物理切断毛细通道；以及做防水处理，把接触角推到 90° 以上，让上升变为下降。

灯芯、吸收体与微流控：灯或蜡烛的灯芯靠毛细力把燃料抬向火焰，毛巾、纸尿裤与海绵则通过细纤维之间的毛细现象吸收水分。近年来，微流控器件与纸基分析芯片（μPAD）广泛采用仅靠毛细力、不用泵就把微量液体输送到目标位置的设计。

计量中的毛细修正与多孔材料：在使用细玻璃管的压力计、滴定管与温度计中，毛细上升是必须修正的读数误差。反过来，毛细上升法正是利用这一效应来测量液体的表面张力或材料的接触角。评价多孔陶瓷、土壤与纤维材料的吸水性，以及设计热管的吸液芯，都建立在对毛细力的理解之上。

常见误解与注意事项

一个常见误解是，"茹林定律对任何管子都成立"。h = 2σcosθ/(ρgr) 是针对"细管"的近似公式——即管半径 r 远小于液体的毛细长度（水约为 2.7mm），从而弯月面可视为接近球面。随着管子变粗，弯月面会偏离球面，计算值会比实际偏高。本工具支持内径最大 10mm，但对于几毫米以上的管子，结果应仅作粗略参考；粗管与容器需要另作处理。

其次，"接触角是液体的固有属性"这一想法。接触角由液体、固体、气体三者的组合决定。同样是水，在洁净玻璃上接近 0°，而在覆有油膜或硅处理的表面上会超过 90°。此外，前进角与后退角不同（即"接触角滞后"），表面粗糙度与污染的影响也很大，所以实测接触角会有分散。本工具会按你输入的角度精确计算，但要预测真实的上升高度，需要使用与实际表面状态相符的接触角。

最后，"仅靠毛细作用就能把水送到树顶"的误解。要仅靠毛细力把水送到 100m 高树的顶端，需要导管半径极其微小，单凭这一点无法解释。实际上，叶片蒸腾产生的强负压（张力）才是把水柱拉上去的主角，毛细力只贡献其中一部分。毛细作用很强大，但并非万能——它是在蒸腾、渗透压与重力的平衡中发挥作用的。