设置对称矩阵 A 的 3 个对角元素和 3 个非对角元素。对称性会自动保持，A[i][j]=A[j][i]。
左侧为输入矩阵 A，右侧为下三角因子 L。每个单元格根据值的大小改变颜色，L 的分量按 L₁₁→L₂₁→L₃₁→L₂₂→L₃₂→L₃₃ 的计算顺序高亮显示。如果矩阵不是正定的，则显示无法分解的提示。
$$A=LL^{\mathsf T},\qquad L_{jj}=\sqrt{A_{jj}-\sum_{k\lt j}L_{jk}^2}$$
对称正定矩阵 A 可以分解为下三角矩阵 L 与其转置 Lᵀ 的乘积。对角元素 L_jj 的计算方法是从对应的 A 的对角元素中减去已求出的行的平方和，再取平方根。
$$L_{ij}=\frac{1}{L_{jj}}\Big(A_{ij}-\sum_{k\lt j}L_{ik}L_{jk}\Big)\quad(i\gt j)$$
非对角元素 L_ij（i>j）的计算方法是从 A_ij 中减去已求出分量的乘积和，再除以对角元素 L_jj。如果平方根的参数变为 0 或更小，则该矩阵不是正定的。
$$\det(A)=(L_{11}L_{22}L_{33})^2,\qquad \text{操作数}\approx \tfrac{n^3}{3}$$
行列式等于 L 的对角元素乘积的平方。Cholesky 分解的操作数约为 n³/3，恰好是 LU 分解（约 2n³/3）的一半。
什么是 Cholesky 分解
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我听说过"Cholesky 分解"这个名字，但最终做的是什么计算呢？
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简单地说，就是将某个矩阵 A"改写为下三角矩阵 L 与其转置 Lᵀ 的乘积"的计算。也就是 A=LLᵀ。这有点像用平方根分解数字的方式，可以看作矩阵的平方根版本。比如 4 分解为 2×2 一样，矩阵 A 分解为 L×Lᵀ。这样做的好处是，线性方程组 Ax=b 可以分成两个阶段（下三角和上三角）快速求解。
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任何矩阵都可以分解吗？当我把左边的非对角元素 a₂₃ 增大时，突然变成"非正定"红色了。
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你注意到了一个很关键的点。Cholesky 分解只能用于"对称"且"正定"的矩阵。对称的意思是 A[i][j]=A[j][i]，正定的意思是无论什么向量 x，xᵀAx 总是正的。当非对角元素太大时，矩阵就不再是正定的了。这样的话，在分解过程中就会遇到"负数的平方根"，计算就会崩溃。所以左边的图变红，就是进入了"无法分解"的区域的信号。
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怎样才能判断矩阵是否正定呢？每次都试遍所有向量是不可能的吧。
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这就要用到"Sylvester 判定法"了。从左上角开始逐渐扩大的小正方形矩阵的行列式——称为主子式 M1, M2, M3——只要全部为正，矩阵就是正定的。下面的条形图就是那三个 M1、M2、M3。更有意思的是，Cholesky 分解本身就是最便宜的测试方法。实际上试试看能否分解，如果过程中平方根的参数变为 0 或更小，就立刻明白"这个矩阵不是正定的"。不需要另外做特殊的判定。
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我也学过 LU 分解。Cholesky 分解和 LU 分解怎样区分使用呢？
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LU 分解是适用于任何正方矩阵的万能选手。而 Cholesky 分解是"对称正定"专用的特化版。因为专用，所以计算更快。LU 的操作数是约 2n³/3，但 Cholesky 利用对称性，操作数约为 n³/3——恰好是一半。所需的存储空间也只是下三角部分。另外，Cholesky 分解不需要进行列选主元，数值稳定性更好，所以对于"已知是对称正定的系统"，按惯例应该选 Cholesky。下面"操作数比较"的图表中，和整个逆矩阵计算的 n³ 相比，Cholesky 是最小的。
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速度这么快，稳定性也好，那在实际的分析软件中也经常用吗？
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完全同意。有限元法（FEM）的刚度矩阵通常是对称正定的，求解其线性方程组 Ku=f 的直接法求解器的核心就是 Cholesky 分解。除此之外还有最小二乘法的正规方程、Kalman 滤波器和高斯过程中出现的协方差矩阵处理、相关随机数的采样等，凡是出现对称正定矩阵的地方都会用到它。虽然不太起眼，但却是支撑数值计算大厦的基础工具。
常见问题
Cholesky 分解可以用于哪些矩阵？
Cholesky 分解 A = L·Lᵀ 仅对对称且正定（SPD）的矩阵存在。对称意味着 A[i][j]=A[j][i]，正定意味着对于任意非零向量 x，xᵀAx>0 成立。在实践中，如果所有主子式都为正（Sylvester 判定法），则矩阵为正定。Cholesky 分解无法应用于非对称或非正定矩阵；对于这些情况，应使用 LU 分解或 LDLᵀ 分解。
如何判定矩阵是否正定？
对称矩阵的正定性可通过 Sylvester 判定法（所有主子式都为正）来确认。对于 3×3 矩阵，计算 M1=a11、M2=a11·a22−a12²、M3=det(A) 这三个值，如果都为正，则矩阵为正定。本工具将这三个 M1、M2、M3 用条形图显示。实际上，尝试执行 Cholesky 分解本身是最便宜的正定性测试。如果在计算过程中平方根的参数变为 0 或更小，则该矩阵不是正定的。
Cholesky 分解与 LU 分解有何区别？
LU 分解将一般的正方矩阵分解为 A=LU，而 Cholesky 分解专门针对对称正定矩阵，将其分解为 A=LLᵀ。通过利用对称性，所需的操作次数约为 n³/3，恰好是 LU 分解 2n³/3 的一半。存储空间也只需下三角部分。此外，Cholesky 分解无需进行列选主元，在数值上更加稳定，因此对于对称正定系统，它优于 LU 分解。
Cholesky 分解在实践中的应用场景是什么？
有限元法（FEM）的刚度矩阵通常是对称正定的，求解其线性方程组 Ku=f 的标准直接法求解器就是 Cholesky 分解。其他应用还包括：最小二乘法的正规方程 AᵀA x = Aᵀb、Kalman 滤波器和高斯过程中的协方差矩阵处理、生成相关随机数的采样等。凡是涉及对称正定矩阵的场景都会用到它。
实际应用
有限元法（FEM）的结构分析： 线性静力分析中组合而成的总体刚度矩阵 K，只要加上适当的约束条件，就是对称正定的。使用直接法求解线性方程组 Ku=f 的求解器的核心就是 Cholesky 分解（以及面向稀疏矩阵的变种——稀疏 Cholesky）。对同一个 K，当只改变荷载向量 f 进行多个荷载工况计算时，可以复用一次分解得到的 L，只进行前进和后退代入，就能快速求解。
最小二乘法和回归分析： 在用观测数据进行拟合时出现的正规方程 AᵀA x = Aᵀb，其系数矩阵 AᵀA 是对称半正定的。当矩阵满秩时为正定，可用 Cholesky 分解稳定高效地求解。多项式拟合、传感器标定、测量网平均等，处理超定系统的各种场景都使用这种方法。
Kalman 滤波器和高斯过程： 状态估计和机器学习中处理的协方差矩阵是对称正定的。在数值稳定的 Kalman 滤波器实现（平方根滤波器）中，直接更新 Cholesky 因子。在高斯过程回归中，核矩阵的 Cholesky 分解既用于预测分布的计算，也用于对数似然的评估。
相关随机数的采样： 从多元正态分布 N(μ, Σ) 生成样本时，将协方差矩阵 Σ=LLᵀ 进行 Cholesky 分解，对独立的标准正态随机数 z，计算 x=μ+Lz，就能得到具有所需相关性的随机数。这是 Monte Carlo 模拟和金融风险评估中的基本技术。
常见误区和注意事项
最常见的误区是"只要矩阵是对称的，就可以做 Cholesky 分解" 。Cholesky 分解除了要求对称性外，还必须是正定的。对称但含有负特征值的矩阵（不定值、负定值）在分解过程中会遇到负数的平方根，计算就会崩溃。本工具中，当非对角元素增大时，判定会从"正定"变为"非正定"，原因就在于此。要处理对称但非正定的矩阵，应选择不使用平方根的 LDLᵀ 分解或带列选主元的分解。
另一个常见错误是"用正规方程 AᵀA 加 Cholesky 分解总是安全的" 。理论上 AᵀA 应该是对称正定的，但若 A 的条件数很大，AᵀA 的条件数就会变成其平方，数值误差会被放大。对于病态的最小二乘问题，直接对 A 进行 QR 分解比用正规方程加 Cholesky 更数值稳定。盲目选择快速的 Cholesky 而不检查条件数，存在风险。
最后，"操作数少一半就意味着计算时间快一半" 这个想法过于简单。理论上的浮点运算次数虽然 Cholesky 是 LU 的一半，但实际计算时间受内存访问模式、缓存效率、稀疏矩阵的填充（分解过程中新增非零元素）影响很大。对大规模稀疏矩阵，节点重新排序（reordering）减少填充的效果往往比降低操作数的系数更显著。"n³/3"应理解为密矩阵的粗略估计。
具体计算示例
对 3×3 对称矩阵 A=[4, 2, 0; 2, 3, 1; 0, 1, 2]（假设为刚度矩阵，单位为 N/mm²）进行计算时，设 a11=4、a22=3、a33=2、a12=2。Cholesky 分解得到 L=[2, 0, 0; 1, 1.414, 0; 0, 0.707, 1.225]，其中 L₁₁=2、L₂₁=1、L₂₂≈1.414、L₃₃≈1.225。行列式为 det(A)=4×1.414²×1.225²≈4.765，所有对角元素都为正，因此判定为正定矩阵。