飞机爬升率模拟器 — 剩余功率法、爬升角与爬升梯度计算

参数设置

机体重量 W

飞行中机体的重量（重力 × 质量）

可用功率（推进）P_av

发动机在该高度与油门下能输出的功率

平飞所需功率 P_req

克服阻力、维持平飞所需的功率

爬升时的空速 V

m/s

爬升过程中沿飞行轨迹的空速

计算结果

—

剩余功率 (kW)

—

爬升率 (m/s)

—

爬升率 (m/min)

—

爬升角 (deg)

—

爬升梯度 (%)

—

爬升性能评估

—

爬升飞行可视化 — 剩余功率与速度矢量

飞机沿与爬升角一致的飞行轨迹爬升。速度矢量分解为竖直分量（爬升率）与水平分量，旁边的功率条显示可用、所需与剩余各项功率。

爬升率 vs 可用功率

爬升角 vs 爬升速度

理论与主要公式

$$\text{RC}=\frac{P_{available}-P_{required}}{W},\qquad \sin\gamma=\frac{\text{RC}}{V}$$

爬升率 RC 等于剩余功率（可用功率 − 所需功率）除以机体重量 W，爬升角 γ 由其与空速 V 的关系 sinγ = RC/V 决定。在剩余功率降为零的绝对升限处，爬升率也降为零。

$$V_{horiz}=\sqrt{V^{2}-\text{RC}^{2}},\qquad \text{梯度}=\frac{\text{RC}}{V_{horiz}}\times100\,[\%]$$

水平地速 V_horiz 与爬升梯度。梯度表示每水平前进单位距离所获得的高度比例，是机场周边障碍物限制的基准。

什么是爬升率与剩余功率

🙋

飞机是一块重达几百吨的金属吧。让它越飞越高的能量，究竟是从哪里来的呢？

🎓

好问题。答案可以归结为一个概念：剩余功率。把发动机的工作分成两部分来看。仅仅为了保持笔直平飞，飞机就需要一定的功率来克服阻力——这就是"所需功率"。而发动机在某个油门设置、某个高度上，能输出一定的功率——这就是"可用功率"。两者之差，就是"剩余功率"。

🙋

原来如此，是差值。可是那"多出来的功率"为什么会变成高度呢？

🎓

剩余功率是没有用于对抗阻力的功率。这样一来，它唯一的去处就是增加飞机的重力势能。把剩余功率除以飞机的重量，就能直接得到它每秒能爬升多少米。这就是爬升率。试着把左边的"可用功率"滑块往所需功率方向拉——你会看到剩余功率缩小，爬升率随之逐渐消失。

🙋

真的，把可用功率调低后爬升率就归零了。实际的飞机也会发生这种情况吗？

🎓

会的。飞得越高，空气越稀薄，发动机能输出的可用功率就越少。所需功率变化较慢，于是剩余功率不断缩小。到了某个高度，剩余功率降为零——这就是"绝对升限"，飞机再也无法继续爬升。同样的道理也解释了为什么满载的飞机或炎热天气下的飞机爬升迟缓：稀薄或"偏重"的条件削减了剩余功率。

🙋

结果卡片里"爬升角"和"爬升率"是分开显示的。这两者是不同的东西吗？

🎓

是的，它们不同。爬升率是"每秒获得多少米"，爬升角是"飞行轨迹相对水平面倾斜多少度"。它们由 sinγ = RC/V 联系起来，所以在相同的爬升率下，速度越慢角度越陡。起飞后能否越过楼房或山丘，取决于爬升角而不是爬升率。而爬升角由剩余推力而非剩余功率决定。混淆二者，就会严重误判起飞性能。

🙋

明白了。那战斗机"机动性很强"，是不是也和剩余功率有关呢？

🎓

关系很大。在战斗机领域，"单位剩余功率（specific excess power）"——剩余功率除以重量——是能量机动性的核心指标。单位剩余功率大的飞机能爬得快、加速快，并在空战中比对手取得更有利的位置。所以本工具所处理的"爬升率"，是一个不仅支配航线运营、还左右空战胜负的基本量。

常见问题

爬升率等于剩余功率除以机体重量：RC =（P_available − P_required）/ W。P_available 是发动机能输出的功率，P_required 是维持平飞所需的功率，W 是机体重量。剩余功率，也就是两者之差，是没有用于克服阻力的功率，它唯一的去处就是增加飞机的重力势能。因此把它除以重量，就能直接得到飞机每秒能爬升多少米。

爬升率是单位时间内获得的高度（m/s 或 m/min），由剩余功率决定。爬升角是飞行轨迹与水平面之间的夹角，由 sinγ = RC / V 可知它还取决于速度 V。在相同的爬升率下，速度越慢，爬升角越大。起飞后能否越过障碍物取决于爬升角而不是爬升率，而爬升角由剩余推力而非剩余功率决定。

高度升高时空气变稀薄，发动机能输出的可用功率下降。而平飞所需的功率变化较为缓慢。结果两者之差即剩余功率不断减小，爬升率也随之下降。剩余功率降为零的高度就是绝对升限，超过该高度飞机便无法继续爬升。

爬升梯度是相对于水平前进距离所获得的高度，用百分比表示：梯度 = 爬升率 / 水平地速 × 100 [%]。例如梯度为 5%，意味着飞机每水平前进 100 m 就上升 5 m。机场周边的障碍物限制以及仪表离场程序（SID）会规定最低爬升梯度（常见约 3.3%）作为安全标准。

实际应用

航线飞行计划：从起飞到到达巡航高度的爬升，会影响燃油消耗、飞行时间与空域拥堵。较重的飞机（满载、远程航班）剩余功率较小、爬升率较低，因此到达巡航高度需要更长时间。运营时会根据当天的机体重量、气温与出发机场标高，制定切实可行的阶梯爬升计划。

机场周边障碍物限制与离场程序：仪表离场程序（SID）规定了最低爬升梯度，无法满足该梯度的飞机就不能从该机场、该航路起飞。即使一台发动机失效仍能否保持规定梯度，实际上决定了当天的最大起飞重量。在群山环绕的机场，这个爬升梯度往往是运营的限制因素。

战斗机的能量机动性：剩余功率除以重量得到的"单位剩余功率（Ps）"，是表征战斗机格斗性能的核心指标。Ps 大的飞机能爬得快、加速快，并在空战中取得更有利的位置。设计阶段会在速度与高度的网格上绘制 Ps 等值线图来评估性能。

飞行力学教学与概念验证：剩余功率法是在深入复杂气动模型之前，理解爬升性能本质的出发点。像本工具这样简单的功率平衡计算，可以先建立起重量、功率与速度如何影响爬升率的直觉，再进入更详细的性能分析（随高度的功率衰减、阻力极曲线）。这样的顺序无论对教学还是实务都很自然。

常见误解与注意事项

最大的混淆是"把爬升率和爬升角当作同一回事"。爬升率是单位时间获得的高度（由剩余功率决定），爬升角是飞行轨迹的陡峭程度（由剩余推力决定），而获得最大爬升率的速度与获得最大爬升角的速度一般并不一致。在最大爬升率速度下飞机爬得"最快"，但更慢的速度会让角度更"陡"。起飞后要越过障碍物需要陡峭的角度，要以最短时间到达巡航高度则需要高爬升率。不要把要优化的目标搞混。

其次，"认为剩余功率不随高度变化"。本工具把剩余功率作为输入值固定，但实际飞机上，随着高度升高、空气密度下降，可用功率会不断减小。所需功率变化更为平缓，因此剩余功率随高度缩小，爬升率单调下降。剩余功率降为零的高度就是绝对升限。不要把在某一高度算出的结果套用到所有高度。

最后，"不区分功率（power）与推力（thrust）"。爬升率由剩余功率决定，爬升角由剩余推力决定，二者通过速度相联系（功率 = 推力 × 速度）。螺旋桨飞机大致输出恒定功率，喷气式飞机大致输出恒定推力，最佳爬升速度的趋势也因此不同。本工具采用以功率为基准的剩余功率法，因此其出发点与以推力为基准的起飞性能讨论有所不同，请注意这一点。