薄层干燥 Page 模型模拟器 — 食品·农产品的干燥曲线

Q: Page 模型与 Lewis（Newton）模型有什么区别？

Lewis 模型是 MR = exp(-k·t)，按一阶反应写的最简单薄层干燥模型，相当于 Page 模型 MR = exp(-k·t^n) 中 n=1 的特例。实际食品·农产品干燥初期表面水分急速蒸发，之后内部扩散控制阶段曲率变化，因此 n≠1，Page 模型用指数 n 吸收这一曲率变化。米和玉米中 n≈1.0–1.3，叶类蔬菜和果实切片中 n≈0.7–1.0，比 Lewis 模型与实测值的拟合度远高。

Q: 如何确定 k 和 n？

将实测 MR-时间数据用二重对数形式 ln(-ln MR) = ln k + n·ln t 进行线性化，通过最小二乘法求得斜率 n 和截距 ln k。也可直接用非线性最小二乘法（Levenberg–Marquardt 等）拟合 MR = exp(-k·t^n)，精度会更高。同一材料在不同温度·风速·厚度下需要分别求 (k, n)，温度依存性用 Arrhenius 规律 k = k0·exp(-Ea/RT) 外推，食品中 Ea 一般在 20–50 kJ/mol。

Q: 实效扩散系数 Deff 的物理意义是什么？

Deff 是将 Fick 第二定律应用于球体或无限平板时，内部水分迁移（液态水扩散、毛细现象、表面扩散、蒸汽扩散）合并为一个等效扩散系数。本工具采用球体近似，用 Deff = k·r²/π² 从 Page 常数反推。食品中 Deff 范围为 10⁻¹¹ 到 10⁻⁸ m²/s，米和谷物为 10⁻¹⁰ 量级，果实切片为 10⁻⁹ 量级。可通过 Deff 随温度按 Arrhenius 规律增长来验证数据合理性。

Q: 褐变风险评分如何解读？

本工具的褐变评分是「空气温度超过 50°C 的部分乘以 0.1」加「初始含水率低于 100%db 时加 1」的简易指标，不能精确预测 Maillard 反应·酶褐变·焦糖化。评分 1 以下基本安全（果实低温干燥·冻干替代），1–2 需注意（咖啡豆焙前干燥·苹果切片），2 以上适用于允许色变的用途（谷物干燥·干制品）。色彩管理必需时需用 L*a*b* 值实测，另行设定温度上限。

参数设置

初始含水率 M₀

%db

干燥前的含水率（干基）。200%db = 水/干物质 2:1

平衡含水率 Mₑ

%db

由空气相对湿度和温度决定的达成下限

Page 常数 k

1/min

干燥动力学的时间常数。随温度·风速增加

Page 指数 n

n>1 初期快速干燥，n<1 缓慢干燥

空气温度 T

°C

空气流速 v

m/s

样品质量 m

计算结果

—

半干燥时间 t(MR=0.5) (min)

—

5%干燥时间 t(MR=0.05) (min)

—

实效扩散系数 Deff (m²/s)

—

蒸发水分 (g)

—

所需能量 (kJ)

—

褐变风险评分

—

样品截面动画 — 含水率色谱图

球状样品从中心到表面的含水率分布和空气流实时显示。颜色：蓝色=湿润，红色=干燥。经过时间和 MR 实时更新。

干燥曲线 — MR vs 时间（Page 模型）

Page 常数 k 的温度依存性（Arrhenius 风格）

理论·主要公式

$$MR = \frac{M - M_e}{M_0 - M_e} = \exp(-k\,t^{n})$$

Page 模型。MR：含水比（无量纲），M：时刻 t 的含水率，M₀：初始含水率，Mₑ：平衡含水率，k：动力学常数 [1/min]，n：Page 指数（取决于食品类型·温度）。

$$t_{1/2} = \left(\frac{\ln 2}{k}\right)^{1/n}, \qquad t_{5\%} = \left(\frac{\ln 20}{k}\right)^{1/n}$$

半干燥时间（MR=0.5）和 5% 残存时间（MR=0.05）。从 Page 模型解析得出。

$$D_{\mathrm{eff}} \approx \frac{k\,r^{2}}{\pi^{2}}, \qquad E_{\mathrm{evap}} = m_w\cdot\lambda_v$$

球体近似的实效扩散系数 Deff（r：等效球半径，密度取 1300 kg/m³）和蒸发所需能量（mw：蒸发水分质量，λv≈2.26 kJ/g 潜热）。

干燥动力学 Page 模型的薄层干燥

🙋

「Page 模型」第一次听说。干燥不就是「时间过了水就蒸发」吗？

🎓

正好说到点上。最初 Lewis（1921 年）假设「干燥是一阶反应」，提出了 MR = exp(-k·t) 的简单公式。但对米或咖啡豆的实测，会出现初期快速干燥、后期缓慢干燥的 S 形曲线。后来 Page（1949 年）将指数推广到 t^n，用仅两个参数 (k, n) 就能再现几乎所有实测曲线。虽然是半经验式，但威力巨大，至今仍是食品工学论文引用最多的模型。

🙋

改变 n 值曲线形状会改变，提高 n 初期快速下降，降低 n 就缓慢下降。这从物理上说意味着什么呢？

🎓

观察得好。n 超过 1 的材料，通常「初期表面有大量自由水容易蒸发」。比如叶菜的表面、水果切片的断面，n 一般是 1.0～1.3。反过来 n 小于 1 的材料，「从一开始就是内部扩散控制」，比如外壳坚硬的稻粒，或组织致密的咖啡豆，n 就是 0.6～0.9。所以测定 n 本身就是在推测那种材料的水分迁移机制。

🙋

提高空气温度，右下方的 k 的 Arrhenius 图会向上延伸。现场到底能升温多高呢？

🎓

这正是「干燥越快越好」不一定成立的原因。k = k₀·exp(-Ea/RT) 确实温度升高 10°C，k 会增加 1.5～2 倍。但食品在 60°C 以上会加速 Maillard 反应（褐变），超过 70°C 热敏性的维生素 C 和风味成分会破坏。所以基本策略是「在允许的干燥时间范围内，选用最低温度」。右上的褐变风险评分就是粗略判断这种权衡的指标，评分 2 以上，对于色彩重要的用途（果实·咖啡）就 NG 了。

🙋

实效扩散系数 Deff「用球体近似从 k 反推」，这样精度能保证吗？若用平板或圆柱干燥怎么办？

🎓

球体近似对谷粒·豆类·浆果约 30～50% 精度。形状不同系数会变，无限平板用 Deff = k·L²/π²（L 是半厚），无限圆柱用 Deff = k·r²/5.78。本工具目的是「快速估算干燥时间和能量」，所以固定用球体。论文需要高精度时，要用实际形状的 Crank 解（Fick 第二定律的级数解），或者用 CFD/热物质传输模拟直接解物体内部的水分分布。

🙋

所需能量大得惊人（100g 时 441 kJ）。这是不是食品工厂电费的大头？

🎓

完全是。干燥是食品加工中最吃能量的工序之一，制造成本的 20～30% 有时都来自干燥。所以才会结合热泵回收排气热、用减压干燥降低潜热、用过热蒸汽干燥既避免氧化又提高热传递等省能新技术。本工具算的是「蒸发水分的理论最小能量」，实际机器热效率 30～60%，所以实际能耗要乘以 2～3 倍估算更现实。

常见问题

Lewis 模型是 MR = exp(-k·t)，按一阶反应写的最简单薄层干燥模型，相当于 Page 模型 MR = exp(-k·t^n) 中 n=1 的特例。实际食品·农产品干燥初期表面水分急速蒸发，之后内部扩散控制阶段曲率变化，因此 n≠1，Page 模型用指数 n 吸收这一曲率变化。米和玉米中 n≈1.0–1.3，叶类蔬菜和果实切片中 n≈0.7–1.0，比 Lewis 模型与实测值的拟合度远高。

将实测 MR-时间数据用二重对数形式 ln(-ln MR) = ln k + n·ln t 进行线性化，通过最小二乘法求得斜率 n 和截距 ln k。也可直接用非线性最小二乘法（Levenberg–Marquardt 等）拟合 MR = exp(-k·t^n)，精度会更高。同一材料在不同温度·风速·厚度下需要分别求 (k, n)，温度依存性用 Arrhenius 规律 k = k0·exp(-Ea/RT) 外推，食品中 Ea 一般在 20–50 kJ/mol。

Deff 是将 Fick 第二定律应用于球体或无限平板时，内部水分迁移（液态水扩散、毛细现象、表面扩散、蒸汽扩散）合并为一个等效扩散系数。本工具采用球体近似，用 Deff = k·r²/π² 从 Page 常数反推。食品中 Deff 范围为 10⁻¹¹ 到 10⁻⁸ m²/s，米和谷物为 10⁻¹⁰ 量级，果实切片为 10⁻⁹ 量级。可通过 Deff 随温度按 Arrhenius 规律增长来验证数据合理性。

本工具的褐变评分是「空气温度超过 50°C 的部分乘以 0.1」加「初始含水率低于 100%db 时加 1」的简易指标，不能精确预测 Maillard 反应·酶褐变·焦糖化。评分 1 以下基本安全（果实低温干燥·冻干替代），1–2 需注意（咖啡豆焙前干燥·苹果切片），2 以上适用于允许色变的用途（谷物干燥·干制品）。色彩管理必需时需用 L*a*b* 值实测，另行设定温度上限。

实际应用

米·谷物的收获后干燥：刚收获的稻谷含水率 20～25%wb（≈25～33%db），长期贮存需干到 14%wb 以下。用 Page 模型求 k 和 n，设计循环式或横流式干燥机的风量·温度·停留时间。为防止米粒破裂（胴割），避免急速干燥，近年趋向「节能低温干燥」即 30～40°C 缓慢干燥。AACC 和 AOAC 规范中有干燥试验的标准步骤。

咖啡豆·可可豆发酵后干燥：羊皮纸咖啡经发酵从含水率 60%wb 干到 11～12%wb，采用天日或机械干燥。Page 模型中 n 多为 0.7～0.9，小于 1，说明内部致密组织是扩散控制。干燥太快易开裂和风味损失（有异味），需结合 CFD 设计均匀干燥曲线。

水果·蔬菜片干燥（干果·干菜）：苹果·芒果·番茄片从初期含水率 400～800%db 干到目标 15～25%db。空气温度 50～70°C，风速 1～3 m/s 为一般标准，加上抗氧化处理（亚硫酸盐浸渍）或预干燥（湿度控制）来防褐变。用 Page 模型 (k, n) 推估能量单耗，与热泵干燥对比。

医药片剂·颗粒流动床干燥：制药造粒后用流动床干燥到含水率数%。将 Page 模型的 k 关联到温度·气流速度，用于验证试验的放大。从 GMP 角度，每批货 MR 对数图是否直线（拟合度 R²>0.99）成为品质管制指标。

常见误解和注意事项

第一个陷阱是，「Page 模型并非万能，仅在薄层（thin-layer）假设成立的条件下适用」。本模型忽略了试料内温度梯度和外气抵抗，只把内部水分当控速环节。试料厚超过数 mm 的厚层（谷粒堆积层、水果整体干燥）时，层内空气温湿度变化就不能忽视，Page 模型的 k 无法参数化。厚层干燥要换用 Thompson 模型或分层模型（多孔介质物质传输 PDE 求解）。

第二是，「将平衡含水率 Mₑ 当常数」的风险。Mₑ 由空气相对湿度·温度决定，吸湿等温线上的值，本来随时间变化的空气状态变。批量干燥时，干燥进行中排气湿度下降，Mₑ 也跟着降。Mₑ 用初值固定算 MR，会低估后期干燥速度，干燥时间估小 10～20%。连续式干燥 Mₑ 可近似常数，但批量式要用 GAB 或 BET 模型引入湿度依存性。

第三是，「实效扩散系数 Deff 单位易出错」。本工具从 k [1/min] 换算 Deff [m²/s] 时，内部用 60 整合单位（k [1/s] = k [1/min] / 60）。引用论文时一定要确认出处的单位体系（是 cm²/s 还是 m²/s，以 min 为基还是以 s 为基）。同一材料·条件的 Deff 相差 1～2 个数量级，十之八九是单位错了。还有，本工具球体近似的形状系数是 r²/π²，平板是 L²/π²·(1/4)，圆柱是 r²/5.78，改形状时式子本身要换。

薄层干燥 Page 模型模拟器 — 食品·农产品的干燥曲线

干燥动力学 Page 模型的薄层干燥

常见问题

实际应用

常见误解和注意事项

使用指南

具体计算例

现场注意事项