参数设置
设置对称矩阵A的3个对角元素和3个非对角元素。对称性自动保证，即A[i][j]=A[j][i]。
矩阵对角化动画
根据元素大小用颜色标记3×3矩阵的各单元。重放记录的旋转序列，显示非对角单元如何淡化至零，对角单元如何逐渐稳定到固有值的过程，并循环播放。每步都用黄色强调当前消除的非对角元素。
理论和关键公式
$$\theta=\tfrac12\arctan\!\frac{2a_{pq}}{a_{qq}-a_{pp}}$$
旋转角θ的选择使得最大的非对角元素a_pq（p<q）恰好为零。a_pp、a_qq是对应的两个对角元素。
$$A\leftarrow J^{\mathsf T} A\,J$$
每次旋转都是通过正交矩阵J（包含c=cosθ、s=sinθ的平面旋转）进行相似变换。这种变换在保持固有值不变的同时，将选定的非对角元素置为零。
$$\mathrm{off}(A)=\sqrt{\sum_{i\neq j}a_{ij}^2}\;\longrightarrow\;0$$
非对角Frobenius范数off(A)在每次旋转后单调递减，当其足够小时，对角元素即为固有值。
雅可比法（固有值计算）简介
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听说过"用雅可比法求固有值"，但固有值真的需要通过旋转矩阵来求解吗？
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说得对。固有值本质上就是"把矩阵变成对角矩阵后的对角元素"。雅可比法的思想非常直接——通过逐步旋转对称矩阵，把非对角元素都归零。完全对角化后，三个对角数字就是固有值。你可以在左边改变a₁₂或a₂₃的值，看看需要多少次旋转才能完成对角化。
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旋转会改变矩阵里的数字，这样求出的固有值真的对吗？
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这是个很好的问题，也是雅可比法的核心！每一步我们做的是"相似变换"A←JᵀAJ。因为J是旋转矩阵（正交矩阵），相似变换有个重要性质：固有值完全不变。所以，虽然矩阵里的数字在不断改变，固有值却始终被保存着。旋转消除非对角元素的过程中，对角元素逐渐逼近"真正的固有值"，这就是它的巧妙之处。
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是从哪个非对角元素开始消除的？消除的顺序有规律吗？
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古典雅可比法采用"瞄准最大的非对角元素"的策略。每一步都找到绝对值最大的非对角元素a_pq，然后选择合适的角度θ=½arctan(2a_pq/(a_qq−a_pp))让它恰好变成零。从最"麻烦"的元素开始消除，这样非对角的"权重"减少得最快。看下面的"非对角范数收敛"图，你会看到在对数坐标下几乎是直线下降，到了最后阶段更是二次收敛——掉得飞快。
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这样的话，消掉一个非对角元素后，旋转会不会把别的非对角元素又搞大了？
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你观察得很敏锐。确实，一次旋转消掉的元素，在后续旋转中可能会有所反弹。但关键在于"非对角元素的平方和"在每次旋转后必然减少。消掉的那一份完全转移到对角上，反弹的部分又比消掉的少。这样，整体的非对角范数off(A)就单调递减，必定趋向零。看对角元素的收敛图，三条线就这样逐渐稳定在各自的固有值上。
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这么简洁的话，现在的分析软件不是都用雅可比法来算固有值吗？
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这里就要讲到权衡了。对于大矩阵，QR法通常更快，所以通用固有值求解器主要采用QR法。但雅可比法有自己的优势：算法极其简洁易懂，实现容易，数值精度格外高，而且每次旋转几乎独立，天然适合并行计算。收敛也很快，后期呈二次收敛。所以在"要求高精度、矩阵较小"的场景——比如从3×3应力张量提取主应力，从3×3惯性张量提取主惯性矩的时候，雅可比法仍然是现役选手。
常见问题
雅可比法是求解实对称矩阵（A[i][j]=A[j][i]）的固有值和特征向量的方法。对称矩阵的固有值必定为实数，雅可比法只通过平面旋转的重复就可以稳定地求出它们。基本上不能用于非对称矩阵，那种情况下应使用QR法或Hessenberg化后的一般固有值求解器。本工具从输入的3个对角元素和3个非对角元素组成对称矩阵，因此总是针对对称矩阵。
雅可比法的每一步都是相似变换A←JᵀAJ。由于J是正交矩阵（旋转矩阵），相似变换完全不改变固有值。每次旋转都选择合适的角度θ，使得最大的非对角元素恰好为零。反复旋转时，非对角元素平方和（非对角范数）单调减少，矩阵逐渐接近对角矩阵。因为固有值在相似变换下保持不变，所以当对角化完成时，对角元素恰好就是固有值。
QR法是当前标准的固有值求解器，即使对于大矩阵也比雅可比法快。而雅可比法的优点是算法极其简单易懂、实现容易、数值精度非常高，而且每次旋转几乎独立，易于并行化。收敛过程中后期呈二次收敛，对于小型和中型对称矩阵十分实用。在要求高精度或重视算法简洁性的场景中，雅可比法仍被广泛采用。
固有值计算出现在工程的各个领域。结构分析中，从刚度矩阵和质量矩阵求固有振动频率（模态分析）；应力分析中，从应力张量求主应力和主方向。从惯性张量得到主惯性矩，从协方差矩阵进行主成分分析（PCA）。这些应用都涉及小型对称矩阵，因此高精度的雅可比法非常适合。3×3的应力张量和惯性张量是雅可比法的典型应用对象。
实际应用案例
结构分析的模态分析：有限元法组建的刚度矩阵K和质量矩阵M，求解广义固有值问题Kφ=λMφ，可得到结构的固有振动频率和振型。实际模型的缩减模型中，矩阵规模常常很小，在这个小对称矩阵的对角化阶段，雅可比法因其高精度而备受欢迎。桥梁、建筑、机械部件的共振规避设计都从这里开始。
应力张量的主应力分析：3×3应力张量是对称矩阵。用雅可比法对它对角化后，对角元素就是主应力σ₁、σ₂、σ₃，特征向量是主方向。找到没有剪切分量的坐标系，本质上就是解固有值问题，而3×3的规模正是雅可比法最擅长的。这是强度判定和疲劳评估的前置步骤，日常工程计算中广泛应用。
刚体力学的惯性张量：物体的惯性张量也是对称的3×3矩阵。用雅可比法对角化，得到主惯性矩和主轴，旋转运动方程就会大大简化。人工卫星姿态控制、机械臂动力学、车辆动力学等涉及刚体转动的场景，都需要这一步计算。
主成分分析（PCA）和统计：数据的协方差矩阵是对称半正定矩阵。其固有值和特征向量给出方差最大的方向（主成分），用于降维和特征提取。当变量不多时，协方差矩阵较小，稳定精确的雅可比法就成了首选。图像处理、传感器数据分析、质量管理等领域广泛应用。
常见误区和注意事项
最常见的误解是"雅可比法是万能的固有值求解器，什么矩阵都能用"。雅可比法的前提是实对称矩阵。应用到非对称矩阵，从非对角元素逐个消除的逻辑就不成立，也无法处理复固有值。需要非对称矩阵的固有值时，应该用Hessenberg化+QR法等别的方法。本工具从输入就保证了对称性，但自己编程时一定要加上"对称性检验"。
另一个常见的想法是"雅可比法太慢，实用性不强"。确实，对大矩阵QR法更快，通用求解器主要用QR法。但雅可比法在小型对称矩阵上速度足够快，后期二次收敛时尤其迅速。相比其他算法，它能达到超高的精度（特别是对微小固有值的相对精度），还天然适合并列化。"慢=没用"是误解，应该理解为"按问题规模和精度要求选择"。
最后，"消掉一个非对角元素后，它就永久消失了"也是个误区。实际上，这个元素在随后的旋转中可能会小幅反弹。重要的不是某一个单独元素的行为，而是整体的非对角范数——非对角元素平方和——必然单调递减。判断收敛时千万不能只看某一个元素，必须看整个off(A)范数是否低于阈值。本工具的收敛判定就是这样做的。