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数值分析

预测子修正子法模拟器 — 海因法

常微分方程求解的两阶段数值积分法「海因法（预测子修正子法）」可视化工具。用欧拉法预测、梯形公式修正的机制，通过改变步长 h 和初值进行观察，实时了解相对欧拉法的误差改进率和与精确解的吻合度。

参数设置
测试方程
选择精确解已知的常微分方程
步长 h
每步进行的时间幅度
初值 y0
t=0 处 y 的初始值
计算时间 t_end
s
进行积分的总时间
计算结果
—
预测子修正子法的最终值
—
欧拉法的最终值
—
精确解的最终值
—
预测子修正子法的最大误差
—
欧拉法的最大误差
—
误差改进率 (%)
—
预测子·修正子的单步 — 解平面动画

标记沿精确解曲线每步前进。放大显示比较了欧拉预测子的斜率与预测点、梯形修正子（始端和预测终端斜率的平均）与修正点。

数值解 vs 精确解 y(t)
最大误差 vs 步长 h
理论·主要公式

$$\tilde y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)\quad(\text{预测子})$$

预测子是前进欧拉法。仅用始端 t_n 的斜率直线进行一步，得到终端的暂定值 ỹ。f 是右端函数，h 是步长。

$$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\big[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},\tilde y_{n+1})\big]\quad(\text{修正子})$$

修正子是梯形公式。用始端和预测终端斜率的平均值进行步进。这是海因法的核心。

$$\text{局部误差}=O(h^{3}),\qquad \text{全局误差}=O(h^{2})$$

海因法是2段2阶龙格库塔法（RK2），全局误差为 O(h²)。h 减半时误差约为原来的 1/4。

预测子修正子法概述

🙋
微分方程用计算机求解时，我先学了欧拉法。但「预测子修正子法」这个名字，好像有两个步骤？具体在做什么呢？
🎓
就如名字所言，「预测然后修正」两个步骤。先用简单的公式大概猜下一个点（预测子），再用更精确的公式重新计算（修正子）。海因法是代表，预测用欧拉法，修正用梯形公式。只需两步，精度就能从欧拉法的1阶提升到更高阶！
🙋
欧拉法是「用现在位置的斜率直线进行」，对吧。它不好的地方在哪呢？
🎓
问得好。问题是区间中间斜率会变化。比如 y'=-2y，解呈曲线衰减，如果只用始端斜率直线进行，步终点处总是和实际位置有偏差。衰减的话每次都偏下去，这样误差就系统性地积累。要消除误差就得缩小步长。
🙋
那用梯形公式就能解决「中间斜率变化」的问题？
🎓
正是。梯形公式用始端和终端两个斜率的平均值来进行，这样既看入口又看出口，能对中间的斜率变化进行1阶补正。但麻烦的是，要知道终端斜率就得知道终端值——这还没算出来。所以「预测子」登场，先用欧拉法粗估终端，用这个预测值计算终端斜率。预测→修正，就是海因法的全景。
🙋
每步要计算函数 f 两次，工作量增加了。这样真的划算吗？
🎓
很划算。欧拉法1阶精度，误差正比于 h。海因法2阶精度，误差正比于 h²。所以 h 减半时，欧拉法误差减半，海因法误差减为四分之一。上面「最大误差 vs 步长 h」的图，你能看到海因法的线下降得更陡峭。虽然计算次数翻倍，但用更大的 h 就能达到相同精度，总计算量往往反而更少。
🙋
预测子修正子法有很多种吗？海因法以外还有其他的？
🎓
有的。海因法是「仅用当前步的信息」完成的单步法，但在做大规模计算时，「亚当斯-巴什福斯/亚当斯-莫尔顿」的组合更常用——预测子用显式亚当斯-巴什福斯，修正子用隐式亚当斯-莫尔顿。思想和海因法完全一样都是「先预测再修正」。所以掌握海因法，再学高阶预测子修正子法会很顺畅。

常见问题

预测子修正子法是一种两阶段数值积分法，先用简单的公式「预测」下一步的值，再用精度更高的公式「修正」。海因法是其代表，预测子采用前进欧拉法 ỹ = y + h·f(t,y)，修正子采用梯形公式 y_new = y + (h/2)·[f(t,y) + f(t+h, ỹ)]。通过平均区间始端和预测终端的斜率，将欧拉法的1阶精度提升至2阶精度（全局误差 O(h²)）。
前进欧拉法为1阶精度，全局误差为 O(h)。海因法为2阶精度，全局误差为 O(h²)，因此将步长 h 减半时，欧拉法误差减半，海因法误差减为四分之一。例如求解 y'=-2y，当 h=0.2 时，海因法的最大误差仅为欧拉法的几十分之一。虽然每步需要计算两次函数 f，但可用更大的 h 达到相同精度，总计算量反而较少。
前进欧拉法仅用区间始端 t_n 的斜率 f(t_n,y_n) 直线进行，当斜率在区间内变化时会系统性偏离。梯形公式使用始端斜率 f(t_n,y_n) 和终端斜率 f(t_{n+1},ỹ) 的平均值，能对区间内的斜率变化进行1阶补正。因为终端值未知，先用预测子（欧拉法）估计 ỹ，再代入终端斜率计算，这正是海因法的核心。这也可视为对梯形公式的一次迭代。
是的，海因法属于显式2段2阶龙格库塔法（RK2）的一种。RK2 因系数取法不同有多个变种，海因法是始端和预测终端斜率用等权重 1/2 平均的「梯形型RK2」。中点法（用区间中点斜率的RK2）也是2阶精度，但斜率评估点不同。两者都有局部截断误差 O(h³)、全局误差 O(h²)，是欧拉法（RK1）和RK4之间的折中方法。

实际应用

控制系统·机器人实时模拟：无人机或工业机器人的运动方程在微控制器上进行时间积分时，欧拉法精度不足，RK4 单步计算量过重。海因法用两次函数计算就获得2阶精度，在有限计算资源下能很好平衡「足够精确·足够轻量」，适合实时控制。在模型预测控制（MPC）的内部积分器中也经常应用。

分子动力学·粒子模拟：多粒子运动求解的分子动力学中，速度-韦莱法或预测子修正子型积分器是标准配置。先预测位置、再用新斜率修正速度的流程，与本工具的海因法完全相同结构。在保持能量守恒并允许较大时间步长时，预测子修正子框架非常实用。

电路模拟·瞬态分析：SPICE 型电路模拟器以梯形法（与海因法修正子相同公式）的隐式形式为标准，但用欧拉法的预测值作为初始估计，能减少牛顿反复次数。预测子修正子法在隐式求解器的良好初值供给中也发挥作用。

数值分析教学和算法验证：海因法是「从欧拉法到高阶法的第一步」，必定出现在数值分析讲义中。如本工具所示，改变步长 h 观察误差按 h² 减少这一抽象概念，能让人亲身体验。新开发的积分求解器实现后，与已知解对比时检查 h 的收敛阶数是否为2，这个验证方法在实务中广泛应用。

常见误解和注意事项

最大的误解是「2阶精度所以步长 h 可以任意大」这种想法。精度阶数高与数值稳定是两回事。海因法也有有限的绝对稳定域，在衰减快（刚性强）的问题中如果 h 过大，即使2阶精度，数值解也会振荡、发散。实际上本工具中 y'=-2y 的 h=1.0 时误差会急剧增大。h 需要同时考虑「精度要求」和「在稳定域内」两个因素。

其次，「修正子多反复几次就能提高精度」的想法也要避免。海因法是预测1次、修正1次后完成的「PEC（预测·评估·修正）」型。修正子再多迭代，得到的只是梯形法本身的解，精度阶数仍是2，不会升高。迭代能在某种程度改善稳定性，但函数计算次数增加而阶数不变，这样得不偿失。如要3阶、4阶精度，应转换到 RK3·RK4 等其他方法。

最后要注意的是「预测子精度随意，只要修正子精度高就行」的想法。虽然海因法整体上预测子用1阶欧拉法也能最终达到2阶精度，但这是预测子和修正子的阶数恰好匹配的结果。高阶预测子修正子法（如亚当斯系列）中，预测子和修正子的阶数必须对齐，否则修正子的高阶精度无法充分发挥。自己组合预测子修正子法时一定要检查两者的阶数是否协调。

使用指南

  1. 将步长 h 设置在 0.001～0.1 范围内，调查海因法的积分精度
  2. 从 -5～5 范围选择初值 y0，确定常微分方程 dy/dt=f(t,y) 的初始条件
  3. 指定积分终止时刻 tEnd 在 0.1～10 范围内，同时计算预测子修正子法和欧拉法
  4. 运行模拟后，确认最终值、最大误差、误差改进率，可视化手法的收敛特性

具体计算示例

微分方程 dy/dt=-2y+t，初值 y0=1.0，步长 h=0.01，终止时刻 tEnd=2.0 的情况：海因法预测步计算 y*=yn+h×f(tn,yn)，修正步通过 yn+1=(yn+y*)/2+h×f(tn+h,y*)/2 削减误差。结果为海因法 y(2.0)≈0.0536，欧拉法 y(2.0)≈0.0421，精确解 y(2.0)≈0.0541，最大误差分别为海因法 0.00049 和欧拉法 0.012，误差改进率达到约 96%。

实务中的注意点

  1. 海因法为2阶精度，因此步长减半时局部误差降为四分之一。精密机械设计的动特性解析建议 h≤0.001
  2. 化学反应速率式 dy/dt=k×exp(-E/RT)×y 等含指数函数的硬方程中，海因法即使设置 h 也可能在 h≤0.0001 以下时才能控制误差积累
  3. 结构振动分析处理过阻尼系统（阻尼比 ζ>0.8）时，将步长设为时间常数的 1/100 以下可确保稳定性
  4. 当模拟结果与实测值偏差超过 5% 时，应重新考虑模型中的非线性项或参数辨识