参数设置
臂类型
不同类型的奇异点模式不同（计算使用2-DOF平面）
连杆长度 L₁
m
连杆长度 L₂
m
关节角 θ₁
°
关节角 θ₂
°
在 0° 或 ±180° 时出现边界奇异点
关节速度上限
rad/s
奇异点附近所需 q̇ 的上限。用于路径规划约束
计算结果
—
末端位置 X (m)
—
末端位置 Y (m)
—
雅可比矩阵 det(J)
—
可操作性 w
—
条件数 κ
—
奇异点状态
-
模型
-
最小轴速度
—
机械臂姿态 — 可操作性椭圆体
2连杆平面臂当前姿态和末端的可操作性椭圆体（长轴=σ_max，短轴=σ_min）。当椭圆体压成线段时就是奇异点。
雅可比矩阵 det(J) vs 关节角 θ₂
可操作性分布图 (θ₁ – θ₂ 平面)
理论·主要公式
$$\dot x = J(\theta)\,\dot\theta,\qquad w(\theta) = \sqrt{\det\!\left(J J^{T}\right)},\qquad \kappa = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$$
J：雅可比矩阵，w：Yoshikawa可操作性，κ：条件数。w=0时det(J)=0为奇异点。κ→∞也表示各向异性奇异点附近。
$$\det J = L_{1} L_{2}\,\sin\theta_{2},\qquad x_{ee} = L_{1}\cos\theta_{1} + L_{2}\cos(\theta_{1}+\theta_{2})$$
2连杆平面臂的det(J)仅依赖θ₂，在θ₂=0和θ₂=±π处为0（边界奇异点）。末端位置用正运动学求解。
$$J^{+}_{\rm DLS} = J^{T}\left(J J^{T} + \lambda^{2} I\right)^{-1}$$
DLS (Damped Least Squares) 伪逆矩阵。在奇异点附近通过 λ 抑制关节速度，使 ẋ ≈ J J⁺_DLS ẋ_target。