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弹吉他弦时会"嘭"地响，为什么会发出固定高度的音？感觉就像随意振动。
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好问题。两端固定的弦实际上不是在任意频率上都能振动。两端的"边界条件"要求振幅必须为零，这样就只有"半波长的整数倍恰好等于弦长"的频率才能形成驻波。最低的就是"基本振动"，决定了音的高度。1636年梅森用公式表示了这一点：f₁ = (1/2L)·√(T/µ)。这比牛顿的运动方程还早。L 是长度，T 是张力，µ 是线密度。
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这比牛顿还早！那吉他调音就是"改变张力"对吧，因为长度固定。
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完全正确。转弦钮改变张力 T，频率就按 f ∝ √T 变化。比如张力增加 4 倍，频率就升高 2 倍，也就是升高一个八度。按品格的动作是缩短有效长度 L，按照 f ∝ 1/L，把 L 减半就升高一个八度。所以吉他的 12 品格（八度）刚好在弦的中点。
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完全对！f ∝ 1/√µ，线越重音越低。贝司吉他、低音提琴、钢琴的低音弦都很粗，还缠了铜丝来增重。相反高音弦细。同样的长度和张力，改变线密度就能扩展音域。大钢琴的结构也是这样，低音弦粗且长，高音弦细且短。
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模式阶数 n 升高就成了"倍音"？这和吉他的音色有关系吗？
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关系很大。弦不是只在基本振动上震动，同时还有 2 倍音（n=2）、3 倍音（n=3）等混在一起。两端固定时，f_n = n·f₁，倍音是漂亮的整数倍，人们听起来就是"清澄的和谐音"。这就是弦乐器音色好听的根源。打击乐器和某些管乐器倍音偏离整数倍，听起来"金属"。单簧管的倍音只有奇数倍，所以有独特的"空洞"音色。
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是同样的道理。单端自由时，自由端形成波的腹，基本振动就是 1/4 波长填满弦，波长是两端固定的 2 倍，频率是一半（f₁ = c/4L）。倍音也只有奇数次（f_n = (2n−1)·f₁）。这和单簧管（一端闭一端开的气柱）的数学结构完全相同。在工程上，把张力下的钢丝当悬臂梁用的结构分析，和振弦式传感器设计都用这个边界条件。
什么是梅森定律？基本振动频率如何计算？
弦的基本振动频率 f₁ 由长度 L、张力 T 和线密度 µ 通过公式 f₁ = (1/2L)·√(T/µ) 确定（两端固定情况）。这个规律由梅森在1636年发现，比牛顿的运动方程早发现，最初是经验法则。波速由 c = √(T/µ) 给出，基本振动是半波长恰好等于弦长的驻波。本工具实时执行此计算，同时显示最接近的音名。
模式阶数 n 是什么意思？与倍音的关系是什么？
模式阶数 n 表示弦上形成的驻波中的腹点数。n=1 是基本振动（半波长1个），n=2 是二倍音（半波长2个），n=3 是三倍音，依此类推。两端固定时，f_n = n·f₁，形成漂亮的整数倍音列。这就是弦乐器声音"清亮"的原因。打击乐器和某些管乐器（长笛除外）的倍音偏离整数比，因此听起来更"金属"或"噪音"。
吉他调音为什么用张力调节？
根据梅森定律 f ∝ √T，增加张力会升高振动频率（音升高）。弦长 L 和线密度 µ 在张弦时固定，所以演奏中只能调节张力。例如张力增加 1.1 倍，振动频率升高 √1.1 ≈ 1.05 倍（约半音）。按住品格是通过缩短有效长度 L 来升高音，符合 f ∝ 1/L。在本工具中拖动 T 滑块时，基本振动频率对张力的图表会画出 √T 曲线。
什么时候使用"单端固定（单端自由）"边界条件？
当一端固定、另一端自由时（悬臂型），基本振动是1/4波长填满弦，振动频率为 f₁ = c/(4L)，是两端固定的一半。更高的倍音只有奇数倍 f_n = (2n−1)·f₁。这与单簧管（一端闭管、一端开管的气柱）数学结构相同，是特有"空洞"音色的原因。在张力下用作悬臂梁的结构分析和振弦式传感器设计中也使用这种边界条件。
弦乐器的设计和调律： 吉他、小提琴、钢琴、竖琴等弦乐器在设计时直接使用梅森定律。大钢琴的低音弦长接近 2 米，缠有粗铜丝（µ 很大），高音侧只有几厘米的细钢丝。在同样的张力范围（约 70～100 N）内，通过组合长度和线密度，能实现 88 个键的音域（A0=27.5 Hz～C8=4186 Hz）。在本工具中改变 µ 或 L，就能直观体验这种设计感觉。
斜拉桥、吊桥的钢缆振动： 在斯特龙姆桥或渡槽桥这样的斜张桥、吊桥中，长长的钢缆（长度达几十到几百米）承受巨大张力（几百 kN 到几 MN），也可以看作是"张紧的弦"而振动。风或交通荷载激励时，在计算出的固有频率上持续摇晃。为了避免共振，需要用阻尼器设计，或者从加速度传感器数据反推张力（梅森公式的逆问题）。
振弦式传感器、粘度计： 用电磁方式激励张力下的细钢丝，从其共振频率推测张力、密度或粘度，这样的计器应用广泛。建筑工地的土压力计、化工厂流体密度计、珠宝商用的精密天平等都用上了。频率 f 对 µ 和 T 的敏感响应，利用这一原理制造出简单而稳健的仪器。
乐器声学设计和有限元分析： 在制造乐器样品前，用本工具这样的弦理论模型预测音域和音色。在做复杂的有限元分析（考虑琴体和空气的耦合）之前，先用弦单体的理论验证"目标基本频率"。小提琴琴体的共鸣峰（formant）设计等高级应用也从弦理论开始。当有不适感的现象时，先用弦单体模型检验数量级是否吻合，这是一种理性的检验法。
首先最大的陷阱是"把线密度和总质量搞混" 。µ 是"单位长度的质量 (kg/m)"而非弦的总质量。本工具用 g/m 作输入单位，计算时转换为 kg/m。要量出实弦的 µ，就是把弦的质量除以长度。比如 1 米弦重 5 克，那 µ = 5 g/m = 0.005 kg/m。忘了这一点，把"弦总质量"输入 µ 会让结果大幅偏差。要时刻注意 SI 单位的一致性。
其次，"梅森定律是'理想弦'的公式" 。本工具的式子忽略了弦的弯曲刚度（stiffness），仅考虑"完全柔软的弦"。实际的弦，尤其是粗的钢琴低音弦和粗钢丝，弯曲刚度不可忽略，倍音会比严格的整数比稍高，出现"不谐和性"（inharmonicity）。这也正是钢琴音色舒展的原因，也是调律师刻意把高音调得略高的理由。对于粗钢缆，如果曲率刚度很大，梅森公式估出的张力会比实测偏低，需要用改正公式。
最后，"振幅在计算式里不出现" 。线性波动方程中，无论振幅大小频率不变是基本前提。但现实中弦被弹响时张力会周期性变动，会发生细微"变调"现象。吉他强弹时最初几十毫秒音会偏高一些，就是这个原因。本工具只考虑线性理论，如果有强励振或非线性振动（混沌、次谐波等）问题，需要另外做非线性分析。