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海洋可再生能源·潮流发电

潮流发电涡轮机 Cp·TSR 模拟器 — Lanchester-Betz

潮流发电涡轮机的核心"输出系数 Cp"和"翼尖速度比 TSR"，在水平轴 HATT·垂直轴 Darrieus / Savonius·导管型的 4 种形式下对比。对标 Lanchester-Betz 极限 16/27 ≈ 59.3%，实时评估抽取功率 kW·年发电量 MWh·空化数 σ，找出最佳运行点。

参数设置
涡轮机形式
HATT/Darrieus/Savonius/导管型，Cp_max 和最优 TSR 各不相同
转子直径 D
m
潮流速度 V
m/s
大潮时峰值流速。商用项目多为 2～4 m/s 级
转速 N
RPM
叶片数 B
桨距角 θ
°
负值为羽化，+15° 以上失速导致功率下降
安装深度 h
m
海面下转子中心深度。用于 σ 评估
计算结果
—
翼尖速度比 TSR
—
输出系数 Cp
—
Betz 极限对比 (%)
—
抽取功率 (kW)
—
年发电量 (MWh/y)
—
空化数 σ
—
海中涡轮机截面图 — 叶片旋转·潮流矢量

涡轮机安装在海面下，潮流从左向右流过，叶片旋转。右上方 Cp 仪表显示当前输出系数相对 Lanchester-Betz 极限的比值。

Cp – TSR 曲线（当前形式）
形式别 Cp_max 对比
理论·主要公式

$$P = \tfrac{1}{2}\rho A V^{3} C_p,\qquad TSR = \frac{\Omega R}{V},\qquad C_{p,\max} = \frac{16}{27} \approx 0.593$$

抽取功率 P 与翼尖速度比 TSR。ρ=1025 kg/m³（海水），A=πR² 为转子扫过面积，Ω 为转子角速度，V 为自由流速。Lanchester-Betz 极限 16/27 为开放流场理论上限。

$$C_p(\lambda) \approx C_{p,\max}\,\exp\!\left[-\left(\frac{\lambda-\lambda_{opt}}{3}\right)^{2}\right]$$

简化的 Cp(λ) 钟形曲线。λ=TSR，λ_opt 依赖涡轮机形式（HATT 6·Darrieus 4·Savonius 1·导管型 5）。

$$\sigma = \frac{p_{atm}+\rho g h - p_{vap}}{\tfrac{1}{2}\rho U_{tip}^{2}}$$

空化数 σ。h 为安装深度，U_tip=ΩR 为翼尖速度，p_vap≈2500 Pa（15°C）。σ<0.3 为高风险。

潮流发电涡轮机 输出系数 Cp — Lanchester-Betz 极限

🙋
潮流发电就是把"水中风车"放在海里吧？跟风力发电有什么区别呢？
🎓
原理基本相同，都是把流体的运动能转换为电能。区别在于介质从"空气 → 海水"，密度相差约 800 倍。相同转子径和流速，理论功率输出就差 800 倍。实际潮流速度小于风速，所以现场功率比大概是 10～20 倍。苏格兰 MeyGen 项目已经实现商用，4 台机组产生 6 MW。
🙋
我听说 Cp 这个系数很重要，什么是 Cp？那个 16/27 又是什么数字？
🎓
Cp 是"输出系数 (Power Coefficient)"，表示从流入的能量中提取出来的比例，反映效率。公式是 Cp = P / (½ρAV³)，A 是转子扫过面积，V 是流速。16/27 ≈ 0.593 就是 Lanchester-Betz 极限。Lanchester 在 1919 年、Betz 在 1920 年独立证明了"开放流场中单台转子理论上不能超过这个值"。风机和潮流机都适用，商用 HATT 一般 0.40～0.45，导管型可达 0.55 以上。
🙋
等等，导管型可以超过 Betz 极限？那是不是突破了理论极限呢？
🎓
好问题。其实 Betz 公式是基于"转子面积"定义的，导管（扩张器）会集流效应增加通过转子面的流量，所以"转子面积基准的 Cp"能到 0.6～0.7。但如果用导管入口面积重新定义 Cp，就不会超过 16/27 了。理论没有突破，只是定义基准不同。Sabella D10（法国）和 OpenHydro 都用过这个技术，在弱潮海域更容易实施。
🙋
我拖动 TSR 滑块时，Cp 呈钟形变化。这是为什么？
🎓
TSR 是"翼尖速度比 (Tip Speed Ratio)"，等于翼尖周速除以流速（TSR = ΩR/V）。太低的话后流旋转损失大，太高的话阻力和乱流分离占主导，所以存在最优值。HATT 最优在 5～7，Darrieus 垂直轴在 4 左右，Savonius（阻力型）在 1 左右。实机通过变桨变速控制，随着潮汐流速变化调整转速，这样能一直维持在 Cp 最大的附近。
🙋
最后，那个空化数 σ 是什么检查项？
🎓
翼尖速度最快，局部压力最容易低于水的饱和蒸气压（15°C 约 2500 Pa），就会产生气泡＝空化现象。气泡塌陷时产生的微射流会冲击翼面造成点蚀损伤。σ 就是衡量这个安全余量的指数。σ<0.3 高风险，1.0 以上基本安全。应对办法有三个：加深安装深度提高静压，降低转速降低翼尖速度，或用专门的空化防护翼型（NACA 6 系等）。这个问题在船用螺旋桨上很早就遇到过了，潮流机也完全一样。

常见问题

理想圆盘执行器理论（动量理论）导出的、开放流场中单台涡轮机能从流体中抽取的运动能的理论最大占比。数值为 16/27 ≈ 0.593（59.3%），由 Lanchester 于 1919 年和 Betz 于 1920 年独立推导。这是风机和潮流涡轮机的共同上限。但导管（diffuser augmented）通过集流效应使通过转子面的流量增加，转子面积基准的 Cp 可达 0.6～0.7。
TSR = ΩR/V（翼尖周速÷自由流速）过低时后流旋转损失大，过高时叶片间阻力损失和乱流分离占主导。水平轴潮流涡轮机（HATT）在 TSR=5～7 附近出现 Cp 最大，Darrieus 垂直轴在 TSR≈4，Savonius（阻力型）在 TSR≈1 处最优。通过变桨变速控制，使转子转速随流速调节，使 Cp 在潮汐变化过程中保持最大值附近，是商用机的主流方案。
输出与流体密度 ρ 成正比。海水密度为 1025 kg/m³，空气为 1.225 kg/m³，约为 837 倍。相同流速和转子径，理论输出约为 800 倍。实际潮流速度小于风速（典型 2～3 m/s vs 风 8～12 m/s），但因流速影响是三次方，仍有 10～20 倍的输出密度优势。另外潮汐由天体力学决定，12.4 小时周期精确可预测，便于并网，这也是风力无法比拟的优势。
σ = (p_atm + ρgh − p_vap) / (½ρU²)。翼尖附近局部压力低于饱和蒸气压时产生气泡（空化），气泡塌陷时冲击波造成翼面点蚀损伤。σ < 0.3 为高风险，0.3～1.0 为中等风险，1.0 以上基本安全。对策包括：(1) 加大安装深度提高静压，(2) 增大转子径降低转速降低翼尖速度，(3) 使用空化专用翼型（NACA 6 系列等）。

现实应用

MeyGen（苏格兰·彭特兰海峡）：全球最大潮流发电商用项目。由 SIMEC Atlantis Energy 运营，4 台 AR1500 机组（直径 18m，定格 1.5 MW），合计 6 MW 并网。本工具的默认参数（D=18m, V=2.5m/s）接近该实机设计，实际 Cp 在 0.40～0.45 范围内。后期扩建目标 86 MW，最终规划 398 MW。

Sabella D10（法国·布列塔尼海岸）：水平轴无导管设计，直径 10m，定格 1 MW。以 6 叶片弥补无导管的不足，在低流速海域（约 2 m/s）稳定发电。曾在凡尔登岛并网为离岛供电，用本工具选择"水平轴 HATT"+"直径 10m"可以复现其设计。

OpenHydro / 导管型涡轮机：海军能源公司开发的导管式设计，转子由环形中心集成，外形独特。本工具选"导管型"可见 Cp_max 上升到 0.55。加拿大 Bay of Fundy（潮差 16m）进行过实证测试，但极端乱流环境导致机械损伤频发，技术难度不容小觑。

BEM 分析与 CFD 前期评估：详细 Blade Element Momentum 法（BEM）或 CFD（OpenFOAM 的 interFoam / k-ω SST）模拟之前，用本工具粗估 Cp(TSR) 来"定形式、选直径、确转速"。算出的 Cp 与粗估相差太大时，可以检查 CFD 网格质量和乱流模型设置。

常见误解与注意事项

最大的陷阱是"导管型涡轮机突破 Betz 极限"的误解。实际上导管通过集流增加流量，如果改用导管入口自由流面积重新计算 Cp，就不会超过 16/27。读论文时必须确认"Cp 基准面积是转子面积 / 导管入口面积 / 虚拟自由流面积的哪一个"。基准搞错会导致导管型显得比水平轴高 50% 或等效，完全相反。本工具用转子面积基准，所以导管的 Cp_max=0.55 是便宜值。

其次是"年发电量＝额定功率 × 8760 小时"这样简单算法。潮流随 12.4 小时周期呈正弦变化，流速从 0 到峰值再到 0，平均流速约为峰值的 √2/2 倍，平均功率是峰值的 1/8～1/4。加上保养停机和潮向反转关机，设备利用率（容量因子 CF）实际是 30～40%。本工具仓库 CF=0.35，具体项目要根据现场海象数据修正。声称 CF>0.5 的商业计划通常过于乐观。

最后是空化数 σ "只看平均静压就判断安全"的陷阱。实际上翼尖前缘局部压力比静压低 2～5 倍，即使平均 σ>1.0 也可能局部空化。必须用 BEM 或 CFD 检查叶片面压力系数分布，看最小压力系数 Cp_min 是否小于 −(σ − 0.05)。加深安装深度最有效，但大潮差海域要注意低潮时的海面下净空。

使用指南

  1. 输入转子直径（0.5～12 m）、潮流速度（0.5～3.0 m/s）、转速（5～200 rpm）、叶片数
  2. 模拟器自动计算翼尖速度比 TSR 和输出系数 Cp，显示相对 Lanchester-Betz 极限（16/27 = 0.593）的对比
  3. 确认抽取功率（kW）、年发电量（MWh/y）、空化数 σ，用于设计参数优化

具体计算例

直径 3.5 m 的水平轴涡轮机（HATT）在秋田县沿海潮流 1.8 m/s、120 rpm 工作时：翼尖速度比 TSR ≈ 4.2，最优 Cp ≈ 0.48（Betz 极限的 81%），抽取功率 ≈ 24.3 kW。假设年潮流稼动率 38%，年发电量 ≈ 80.4 MWh/y。空化数 σ ≈ 1.1（临界值 0.8 以下气泡发生），可评估翼面压力降低导致的侵蚀风险。

实务注意点