MMS：二维弹性体——故障排查指南

MMS: 2次元弹性体 — 故障排除指南

二维弹性MMS的构成与易碎之处

弹性体的MMS是先取位移的制造解 \( \mathbf{u}_m(x,y) \)，代入平衡方程导出体积力源项。

$$ \mathbf{b} = -\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{u}_m), \qquad \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C} : \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}_m) $$

边界条件同样由制造解给出：位移边界给 \( \mathbf{u}_m \)，面力边界给 \( \mathbf{t} = \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{u}_m)\cdot\mathbf{n} \)。误差范数要对位移（\( L^2 \)：精度阶 \( k+1 \)）与应力·能量范数（精度阶 \( k \)）分别评估。与热传导MMS的差别有三点：①它是矢量场，分量容易张冠李戴；②弹性的定式化本身有选择（平面应力／平面应变）；③锁定这一弹性特有的病理——故障也恰好集中在这三点上。

症状1：整体精度阶出得来，可数值系统性地差几个百分点

症状2：一加面力边界精度阶就掉

• 法线方向——\( \mathbf{t} = \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} \) 中的 \( \mathbf{n} \) 是外法线。某条边的符号取反，误差就只在那条边附近堆积（看误差的空间分布可立刻发现）
• 分量搞错——逐边确认 \( t_x = \sigma_{xx} n_x + \sigma_{xy} n_y \) 之类的分量合成。"只有上下两条边错"是常见模式
• 边界积分的精度——把沿边变化的面力折算成等效节点力时积分阶数不足。增加积分点做敏感性确认
• 角点的处理——角点上两条边的面力汇集到同一个节点。检查等效节点力有没有重复或遗漏

排查的定式是先用"全周位移边界"把精度阶做出来。那一步合格，就说明内部离散与源项无罪，可以把面力边界的实现单独隔离出来查——这是MMS通用的边界隔离术。

症状3：ν→0.5时精度阶与精度一起崩（体积锁定）

把泊松比提到0.49、0.499，一次（以及标准低阶）单元的位移解会急剧变硬、变得不准。这不是bug，而是不可压极限下的体积锁定这一定式化的固有局限，而MMS正是把它定量暴露出来的最佳工具。应对分两步。

1. 把它当诊断用——ν=0.3时出名义精度阶、ν=0.499时误差恶化一个数量级以上，那正是标准位移法应有的表现，等于确认了"代码是对的"
2. 验证带对策的定式化——换用B-bar、选择性缩减积分、混合（u-p）单元、非协调单元等无锁定定式化，用MMS实证ν=0.4999时精度阶依然保持。这就是"能扛不可压"这个主张的可验证形态

同理，采用细长的弯曲主导型制造解（薄梁状区域＋弯曲变形），还能检出剪切锁定。MMS不仅能回答"解得对不对"，还可用作"单元的病理在什么条件下发作"的系统性试验。

症状4：推导没错，精度阶却差0.5～1阶

典型原因是体积力 \( \mathbf{b} \) 在实现一侧精度不足。①单元载荷的积分阶数——把空间变化剧烈的体积力按默认积分点数折算成等效节点力，积分误差会超过离散化误差（对策：提高积分阶数做敏感性确认，或降低制造解的波数）。②节点集中近似——按"节点值×节点体积"施加体积力的实现只有一阶精度，会污染二次单元的精度阶。③偶尔还有设置失误：本该是无时间项的纯弹性问题，却用动力学求解器求解，混入了惯性。若源项的随机点核对已经通过而精度阶仍出不来，就该怀疑这条"注入路径的精度"。

症状5：矩阵奇异解不出来／加了约束反而掉阶

全周面力边界的验证中，刚体模态（平动2个＋转动1个）没有被约束，矩阵就是奇异的。处置办法：①用制造解的数值施加最小限度的位移约束（一点上约束 \( u_x, u_y \)，另取一点约束一个分量以止住转动——都要给制造解的精确值）；②注意一旦固定为零就与制造解矛盾，会注入边界误差。"加了约束反而精度变差"的成因几乎都是②——务必把 \( \mathbf{u}_m \) 的值也代入约束点。

面向二维弹性的制造解设计备忘

• 基本形式——\( u_m = A\sin(\pi x)\cos(\pi y) \)、\( v_m = B\cos(\pi x)\sin(\pi y) \) 这类三角函数系。系数要选得让全部应变分量都非平凡
• 按验证目的取用——精度阶验证用光滑的低波数解；锁定诊断用弯曲主导、接近不可压的解；面力验证用边界上应力非零的解
• 当心二次单元的超收敛——多项式（二次及以下）的制造解会被二次单元精确重现，误差为零＝测不出精度阶。要用三角函数或三次以上
• 与精确解基准并用——含圆孔无限大板（Kirsch解）等经典解不需注入源项，可作为互补的独立校核（与解析解验证的做法是同样的分工）

检查清单

• 是否把求解器的本构关系（平面应力／平面应变、弹性常数的定义）誊抄进了推导脚本
• 源项与面力是否通过了随机点核对（数值微分）
• 是否按全周位移边界→面力边界的顺序做了隔离排查
• 是否确认了体积力积分阶数的敏感性
• 约束点是否给了制造解的精确值（有没有固定成零）
• 是否把位移与能量／应力范数分别与各自的理论精度阶做了比较
• 是否把ν=0.3与0.499两种情况的表现都记录下来了（有无锁定的证据）

相关文章：MMS：二维热传导的故障排查、源项推导的故障排查、收敛精度阶的故障排查。