MMS：不可压Navier-Stokes方程——故障排查指南
更加充实的内容请参见 mms-navier-stokes.html。
不可压NS方程的MMS为什么格外难
热传导的MMS一次就通了，换成Navier-Stokes就完全不行……差在哪里？
不可压NS带着两条别的方程没有的约束。第一，连续性方程 \( \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 \) 是"不随时间演化的约束条件"——制造的速度场不满足它、而求解器又不接受质量源项时，验证从一开始就不成立。第二，压力是维持该约束的拉格朗日乘子——它没有自己的演化方程，对边界条件、基准固定方式、单元配对（LBB条件）都很敏感，压力与速度不同阶收敛往往才是正常的。NS-MMS的大多数麻烦都能归结到这两点。
明确被验证的方程组（密度恒定、运动黏度 \( \nu \)）：
$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{s}_u, \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 $$
动量源项 \( \mathbf{s}_u \) 由把 \( (\mathbf{u}_m, p_m) \) 代入左端得到。问题出在连续性那一侧。
症状1：连续性无法满足——无散度制造解的构造
任取的速度场一般 \( \nabla\cdot\mathbf{u}_m \ne 0 \)。求解器能注入质量源（自研代码等）倒也罢了，多数求解器不允许改动连续性方程。那就从一开始构造无散度的制造解。二维用流函数 \( \psi(x,y) \)：
$$ u_m = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v_m = -\frac{\partial \psi}{\partial x} $$
按构造保证 \( \nabla\cdot\mathbf{u}_m = 0 \)。例如 \( \psi = \sin(\pi x)\sin(\pi y) \) 给出 \( u_m = \pi\sin(\pi x)\cos(\pi y) \)、\( v_m = -\pi\cos(\pi x)\sin(\pi y) \)。三维用矢量势 \( \mathbf{u}_m = \nabla\times\mathbf{A} \)。压力制造解 \( p_m \) 可独立选取（如 \( \cos(\pi x)\sin(\pi y) \)）。符号推导阶段务必确认 \( \nabla\cdot\mathbf{u}_m \) 化简为零——simplify后还剩东西，就是构造错了。
症状2：速度收敛、压力的阶数出不来
| 检查项 | 说明 |
|---|---|
| 压力的不定性固定了吗 | 全边界给速度时压力只定到相差常数。定一点或取零均值，误差评估也按同一约定（先减均值再比较） |
| 单元配对的理论阶数 | Taylor-Hood系（速度二次/压力一次）压力理论上就比速度低一阶。等阶稳定化（PSPG等）还叠加稳定化项自身的阶数影响 |
| 边界附近的压力评估 | 出流边界·角点处压力容易局部降阶。改用仅内部区域的范数重评，先切分开 |
| 压力边界条件的一致性 | 压力指定边界要给 \( p_m \) 的值；速度边界上不要顺手又约束压力 |
"压力观测阶数低于速度"本身在许多离散化里是设计使然。不合格指的是达不到该单元配对的理论阶数，而不是与速度不同。
症状3：源项与求解器的对流项写法不一致
对流项有几种数学等价的写法：迁移形 \( (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \)、散度形 \( \nabla\cdot(\mathbf{u}\mathbf{u}) \)、斜对称形、旋转形。连续且无散度时它们一致，离散层面并不一致——推导用一种、求解器离散另一种，就会出现微妙的阶数污染或误差地板。黏性项同理：\( \nu\nabla^2\mathbf{u} \) 与应力散度形 \( \nabla\cdot\left[\nu(\nabla\mathbf{u} + \nabla\mathbf{u}^T)\right] \) 无散度下等价、离散实现是两码事。查求解器文档里写的定式，就按那个形式推导 \( \mathbf{s}_u \)——这是原则。
症状4：非定常时间阶数出不来——投影法的分裂误差
SIMPLE/PISO/投影法系的压力-速度分离解法，每个时间步都带来分裂误差；随实现不同，压力的时间阶数可能低于速度，常表现为贴边界的压力误差层。诊断的标准顺序：
- 先用定常MMS只验空间——把时间离散摘出去；空间阶数不过关，就还轮不到时间
- 验时间时把空间冻结得足够细——在时间误差大于空间地板的范围里构造 \( \Delta t \) 序列
- 确认外层迭代收敛——PISO修正次数不足、SIMPLE松弛过重都会拉低时间精度；逐步记录残差
- 核对时间格式的理论阶——一阶隐式Euler别指望二阶；把时间积分设置写明
症状5：MMS算例直接发散
| 原因 | 说明与对策 |
|---|---|
| 制造解的雷诺数过高 | 振幅与黏度的搭配可能把有效Re推到几千，定常层流解失稳。提高 \( \nu \) 或压低振幅，把有效Re设计在10～100 |
| 源项振幅过大 | 波数越高，微分带来的 \( \pi \) 系数放大越猛。从每方向1～2个周期起步 |
| 初始条件不一致 | 非定常MMS的初值要用 \( \mathbf{u}_m(t=0) \) 的精确值；零初始化会在初始瞬态崩掉 |
| 单位·无量纲化混乱 | 无量纲求解器里塞了有量纲源项；是否除以 \( \rho \) 的形式对不上。逐符号核对定义 |
附：与已知精确解（Kovasznay流等）的分工
NS不是有Kovasznay流、Taylor-Green涡这些精确解吗？用它们验证不就行了？
最佳实践是两个都用。Kovasznay流和Taylor-Green涡不需要任何源项机制就能直接验证，是不依赖注入通道的独立检查。而MMS赢在覆盖面——解的形状、边界类型都能自由设计，让每一项都被检验到。"精确解打底、MMS扫盲区"的两段式，还能把源项bug和求解器bug相互隔离出来。
NS-MMS算例的质量清单
- 确认 \( \nabla\cdot\mathbf{u}_m = 0 \) 符号化简为零（求解器不支持质量源时）
- 对流项·黏性项的定式与求解器实现一致
- 压力不定性的固定方式与误差评估约定一致
- 按单元配对分别写明速度、压力的理论阶数
- 空间验证与时间验证分离
- 有效Re与源项振幅设计在稳定范围内
基础流程见整合版MMS：不可压Navier-Stokes方程；源项推导的自动化见MMS源项的自动推导；阶数不达标的通用诊断见收敛阶数的故障排查。
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