Maxwell応力テンソル — CAE用語解説

良い質問だ。エネルギー密度はスカラー量だが、Maxwell応力テンソルは「力の流れ」を記述する2階のテンソルだ。具体的には、電磁場が物質に及ぼす単位面積あたりの力（応力）を表す。例えば、真空中でのテンソル

メッシュの品質と計算コストに直結する。例えば、回転するモーターのロータにかかる磁気トルクを求めたい場合、ロータの体積内の磁束密度分布から力密度を積分する方法（仮想仕事法）もある。しかし、Maxwell応力テンソルを使えば、ロータとステータの間の「エアギャップ」という一つの面（実際はシェル状のメッシュ）上のデータだけでトルクが計算できる。体積全体を高精度にメッシュする必要が減り、特にエッジや角部での特異点の影響を受けにくくなるという実務上のメリットが大きい。

それは、電磁場の運動量保存則から必然的に導かれる形だ。引き算の項

最も重要なのは、積分面を「一様で十分に細かいメッシュが貼られた領域」に設定することだ。例えば、Ansys Maxwellで永久磁石モーターのトルクを計算する場合、ロータ外周とステータ内周の中間点を通る円筒面を積分面として定義する。この面は、エアギャップ中で磁束密度が滑らかに変化する領域でなければならない。鉄心の表面ギリギリに面を設定すると、透磁率の不連続点での数値誤差が直接結果に乗ってくる。

経験則だが、磁束密度の変化を捉えるために、少なくともローカルな1波長（または極対数1ペアの空間的周期）に対して10〜20個以上のメッシュ要素を割り当てる。例えば、4極モーターなら、機械角180度が1周期なので、積分面の円周方向に少なくとも36〜72分割は欲しい。また、メッシュを段階的に細かくして（h-refinement）、計算される力やトルクの値が収束することを確認する「メッシュ収束性解析」が実務上の必須手順だ。

これが数値誤差の主要因の一つだ。多くのFEMソルバー（JMAGなど）では、積分面上の「ガウス積分点」における磁束密度を補間し、その点でのテンソルを計算して積分する。境界での不連続性の問題を避けるため、ソフトウェア内部では、面の「片側」（通常は力を受けたい物体の外側）の場の値だけを一貫して採用するアルゴリズムが組まれている。ユーザーが意識すべきは、積分面の「法線方向」の定義がソフトウェア内でどちら向きになっているかを確認することだ。方向が逆だと力の符号が反転する。

それは普遍的で核心的な問題だ。一般的なベストプラクティスは以下の通りだ：1) まず、仮想仕事法（エネルギー微分による方法）を「基準値」とする。これは体積積分であり、全体のエネルギー変化に基づくため、局所的な場の数値誤差の影響を比較的受けにくい。2) Maxwell応力法の結果を、積分面の位置やメッシュを変えて複数回計算し、そのばらつきを評価する。3) 両者の差が、例えば目標精度1%以内に収まっていれば、そのモデルとメッシュは信頼できると判断する。Ansysのドキュメントでも、この二つの方法による相互検証を推奨している。

いくつかある。第一に、力の「釣り合い」だ。内部に電流源や永久磁石のない空洞領域を囲む閉曲面でMaxwell応力テンソルを面積分すると、理論上は全力とトルクはゼロになるはずだ。これを計算してみて、数値的にゼロに近いか確認する。第二に、既知の解析解との比較。例えば、平行平板コンデンサの極板間引力や、平行電流線間の力は簡単な式で表せる。第三に、物理的にあり得ない値が出ていないかのチェック。例えば、小型のDCブラシレスモーター（外径50mm程度）で、Maxwell応力法によるトルクが数十N・mも出ていたら、明らかに単位系の設定ミスを疑う。

時間平均の力と瞬時値の力を区別することが重要だ。例えば、交流駆動する誘導モーターの平均トルクを求めたい場合、時間領域過渡解析で数サイクル分計算した後、1周期分の瞬時トルクを時間平均する。この時、Maxwell応力テンソルも瞬時の電場・磁場から計算されるため、積分面は時間を通じて固定しておく必要がある（変形する物体の場合は別）。また、高調波成分が多い場合、サンプリングの時間刻みが十分でないとエイリアシングが発生し、平均値が不正確になる。時間刻みは、扱う最高周波数の少なくとも1周期を20ステップ以上で分割するのが目安だ。

その通りだ。主な違いは3点ある。1) **場の補間方法**：Ansys Maxwellは要素のエッジに定義された磁ベクトルポテンシャルから、積分点上で直接Bを計算する。JMAGは節点で補間されたBを用いることが多い。COMSOLはユーザが「要素内評価点」か「節点平均化」かを選択できる。2) **積分面の扱い**：Maxwellでは「オブジェクトを囲む閉曲面」として自動生成されるが、JMAGではユーザが明示的に「力の計算面」を定義する。3) **テンソルの形式**：微細な違いだが、COMSOLは物質中（

必ずしもそうとは限らない。強磁性体表面の力は、透磁率が非常に高く、磁場が急激に変化するため、どの方法でも数値誤差が大きくなりがちだ。実務では、鉄心表面の力よりも、エアギャップを介して伝達される全体の力やトルクに注目することが多い。その目的なら、どのソフトでも適切に設定されたMaxwell応力法は有効だ。鉄心内部の磁歪や磁気による変形・応力を評価したい場合は、COMSOLのマルチフィジクス連成機能や、AnsysのMechanicalとの連成解析を用いて、電磁解析で得た体積力密度を構造解析に受け渡す方法がより一般的だ。

基本的なアルゴリズムは実装されているが、商用ソフトとの差は「検証の裏付け」と「ユーザーサポート」にある。FEMMは2次元静磁場解析に特化しており、円弧状の積分パスを定義してトルクを計算できる。しかし、3次元や過渡現象には対応しない。Elmerはオープンソースで柔軟性が高いが、積分面の設定や結果の後処理はすべてユーザーがスクリプトで組む必要があり、初心者にはハードルが高い。商用ソフト（一ライセンス年間数百万円）は、自動車メーカーや電機メーカーでの厳密な検証を経ており、特に回転機のトルクリップル計算などでは、その精度と再現性に対して対価が支払われていると言える。

それだけが原因とは限らない。第一に疑うべきは、「積分面が材料境界に近すぎる」ことだ。透磁率が不連続に変化する界面（鉄心表面）では、磁束密度の法線成分は連続だが、接線成分は不連続で、数値解もそこで急峻に変化する。そのような領域に積分面がかかっていると、メッシュわずか1要素分の位置ずれで場の値が大きく変わり、積分結果が不安定になる。対策は、積分面を少なくともエアギャップ幅の20〜30%は離し、磁場が滑らかに変化する領域の中央付近に設定することだ。

ほとんどが数値誤差、特に「メッシュ通過ノイズ」だ。ロータが回転すると、積分面は固定されたままだが、その下を通り過ぎるロータ側のメッシュ要素の形状と配置が時間ステップごとに変わる。この時、メッシュインターフェースで場の補間が不連続になり、力の計算にバラツキが生じる。これを軽減するには、1) 回転部と固定部のメッシュを極力細かく均一にする、2) Ansys Maxwellの「Band」領域のように、スライディングメッシュ法を正しく適用する、3) 結果をある時間ウィンドウ（例えば電気角1周期）で移動平均をとってノイズを平滑化する、といった対策がある。

まずは「ソルバー残差」を確認せよ。静磁場解析が完全に収束していないと、場の分布自体に誤差が含まれる。Ansysなら「Residual」の値が設定した閾値（デフォルトで1e-4など）を下回っているか。次に、「モデルの対称性」だ。幾何学的に完全に対称なモデルでも、メッシュが非対称だと力の釣り合いが崩れる。特に自動メッシュ生成を使った場合に起こりうる。最後に、「積分面が完全に閉じているか」の確認。3次元では、面がわずかに途切れていたり、重なっていたりすると、ガウスの発散定理が成り立たず、誤差が生じる。これらのチェックを経てもダメなら、それはそのFEM離散化自体に内在する数値誤差のレベルであり、仮想仕事法の結果との比較で許容範囲かを判断することになる。