打ち切り誤差 — CAE用語解説

無限に続く数学的操作を、有限のステップで止めることです。例えば、関数のテイラー展開を考えます。sin(x)をx=0の周りで展開すると、

主に3つあります。1つ目は先ほどのような関数近似（形状関数など）。2つ目は反復解法の収束判定。例えば共役勾配法で残差ノルムが1e-6以下になったら計算を止める場合、真の解との差は1e-6より大きい可能性があります。3つ目は時間積分。過渡解析では、次の時間ステップの状態を現在の状態の級数展開で予測しますが、これを有限次で打ち切ります。

良い着眼点です。離散化誤差は、連続体（微分方程式）を離散的な点（メッシュ）で表現すること全体から生じる誤差の総称です。一方、打ち切り誤差は、その離散化プロセスの中の「特定の数学的近似操作」に起因する誤差成分の一つです。例えば、有限差分法で一次微分を中心差分で近似するとき、

大きく分けて二段階です。第一段階は要素定式化。二次要素を使えば一次要素より高次項まで考慮するので、形状関数の打ち切り誤差は小さくなります。第二段階は連立一次方程式の求解。Ansys Mechanicalのデフォルトの直接法ソルバー（スパース直接ソルバー）では打ち切り誤差はほぼ無視できますが、反復法ソルバー（PCG法）では「収束基準」が打ち切り誤差の発生源です。残差が1e-8なら1e-4より厳しいので、打ち切り誤差は小さくなります。

時間積分スキーム自体が持つ「次数」と、「時間ステップ幅」で制御します。例えば、陽的オイラー法は1次精度、4次のルンゲクッタ法は4次精度です。同じ時間ステップ幅Δt=0.001秒でも、後者の打ち切り誤差ははるかに小さい。実務では、自動時間ステップ制御が使われます。Abaqus/Explicitの動的解析では、あるステップの打ち切り誤差を推定し、許容誤差（デフォルトで5e-3程度）を超えるとステップ幅を小さくする、ということを繰り返します。

その通りです。非線形方程式を反復で解く際、力の残差や変位の修正量が収束基準（例：力の残差1e-2、修正量1e-5）を下回った時点で反復を打ち切ります。これが打ち切り誤差です。MarcやAbaqus/Standardでは、この基準を厳しくしすぎると計算コストが爆発し、緩すぎると物理的に不正確な解に収束するリスクがあります。接触問題では、デフォルトの1e-2では不十分で、1e-3まで厳しくするケースも多いです。

はい、以下の4点を確認します。

「感度解析」が一つの方法です。例えば、力の残差基準を1e-2, 1e-3, 1e-4と変えて、注目する最大応力や変位がどの程度変化するか調べます。変化が1%以内に収まるレベルが、その解析にとっての「実用上十分な」基準です。ある自動車部品の疲労解析では、残差1e-2と1e-3で応力が5%も変わったため、1e-3を採用しました。コストと精度のトレードオフです。

よくある落とし穴です。あります。メッシュ収束は「離散化誤差」の低減を確認したに過ぎません。非線形解析では、粗いメッシュでもソルバー収束基準を極端に厳しく（1e-8など）すると、その粗いメッシュが表現できる「不正確な解」に高精度で収束してしまいます。逆に、非常に細かいメッシュでも、収束基準が緩い（1e-1）と、打ち切り誤差が大きく、正しい解から遠ざかる可能性があります。両方の誤差源を別々に評価する必要があります。

大きな違いがあります。

FluentやStar-CCM+などのCFDでは、「離散化スキーム」の選択が打ち切り誤差の大きさを決めます。例えば、移流項の1次風上差分は強い数値拡散（打ち切り誤差が大きい）を生み、2次風上差分やQUICKスキームはより高精度です。また、圧力-速度連成の反復解法（SIMPLE, PISO）の収束基準（連続性、運動量、エネルギーの残差）も打ち切り誤差源です。Fluentのデフォルト収束基準は1e-3ですが、熱伝達や化学反応を伴う場合は1e-6まで下げることもあります。

ユーザーがより深く設定する必要があります。CalculiX（AbaqusライクなFEM）では、入力ファイル（.inp）の*CONTROLSパラメータで「cnorm」や「cnormm」を直接設定します。デフォルト値は明示的でない場合が多く、マニュアルを読む必要があります。OpenFOAMでは、`fvSolution`ファイル内の各方程式のソルバー設定（`tolerance`と`relTol`）と、`PIMPLE`や`SIMPLE`辞書内の収束基準（`residualControl`）がそれにあたります。商用ソフトより「ブラックボックス度」が低い分、打ち切り誤差の制御に対する理解が求められます。

よくあります。ある例は、ゴム材料の大変形解析（Abaqus使用）です。デフォルトの収束基準（0.5%）では反復が早く終了し、見かけ上収束したように見えても、局部の接触圧力が実際より20%以上低く計算されていました。収束基準を0.1%に厳しくしたところ、反復回数は増えましたが、実験データとよく一致する結果が得られました。打ち切り誤差が大きすぎて、物理的に不正確な「だましの解」に落ち着いていたのです。

主に二つ。第一に、計算時間の無駄です。メッシュの離散化誤差が1%ある状況で、ソルバー打ち切り誤差を1e-8まで下げても全体精度は向上しません。第二に、数値ノイズによる「収束失敗」のリスクです。特に接触問題では、微細な振動が生じ、厳しい収束基準を永遠に満たせず、解析が停止することがあります。Ansysでは、このような場合に「バイリニア減衰」などの収束補助機能を使いますが、根本的には基準の見直しが必要です。

まず、ソルバーの出力ログを確認し、「最終的な残差ノルム」や「収束履歴」を見ます。収束基準ぎりぎりで止まっていないか。次に、パラメータスタディとして、収束基準を一段階厳しく（例：1e-3 → 1e-4）して再計算します。もし結果が大きく変わるなら、元の設定の打ち切り誤差が無視できない証拠です。また、メッシュを少し変えて（同じサイズで再生成）計算し、結果がぶれるか見るのも有効です。打ち切り誤差が支配的だと、メッシュのわずかな違いで結果が不安定になる傾向があります。