流体力学の無次元数 完全ガイド — Re/Pr/Nu/Fr/We/Ma 等 12 数
流体・伝熱・物質移動解析の根幹は、無次元数による相似則です。Reynolds 数で乱流／層流を判定し、Prandlt 数で熱境界層の特性を表し、Nusselt 数で熱伝達係数を整理します。本ガイドでは設計実務で必須となる 12 種類の無次元数を、定義式・物理的意味・典型値・適用範囲とともに整理し、水・空気・蒸気の代表的な数値例を示します。
無次元数 12 種類 一覧表
| 無次元数 | 記号 | 表す物理 | 主用途 |
|---|---|---|---|
| Reynolds 数 | Re | 慣性力 / 粘性力 | 層流／乱流遷移、圧力損失 |
| Prandtl 数 | Pr | 運動量拡散 / 熱拡散 | 速度・温度境界層比 |
| Nusselt 数 | Nu | 対流熱伝達 / 伝導熱伝達 | 熱伝達係数 h 算出 |
| Grashof 数 | Gr | 浮力 / 粘性力 | 自然対流 |
| Rayleigh 数 | Ra = Gr·Pr | 浮力 × 熱拡散 | 自然対流の発生・乱流化 |
| Froude 数 | Fr | 慣性力 / 重力 | 自由表面流、波、船舶 |
| Weber 数 | We | 慣性力 / 表面張力 | 液滴分裂、噴霧 |
| Mach 数 | Ma | 流速 / 音速 | 圧縮性、衝撃波 |
| Biot 数 | Bi | 対流抵抗 / 内部伝導抵抗 | 集中熱容量法の適用判定 |
| Fourier 数 | Fo | 無次元時間（熱拡散） | 非定常熱伝導 |
| Schmidt 数 | Sc | 運動量拡散 / 物質拡散 | 物質移動 |
| Stanton 数 | St = Nu/(Re·Pr) | 熱伝達 / 移流熱輸送 | 熱交換器設計 |
各無次元数の定義式と代表値
1. Reynolds 数 Re — 流れの種類を決める
$$ Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu} $$
$\rho$ 密度、$V$ 平均流速、$D$ 代表長（管径等）、$\mu$ 粘度、$\nu$ 動粘度。
- 水 20°C、配管 D=25mm、V=1 m/s: Re = 1000×1×0.025 / 10⁻³ = 25,000（乱流）
- 空気 20°C、車両表面 D=1m、V=20 m/s: Re = 1.2×20×1 / 1.81e-5 = 1.3×10⁶（高 Re 乱流）
- 遷移範囲: 管内流 Re ≈ 2300、平板境界層 Re_x ≈ 5×10⁵
2. Prandtl 数 Pr — 速度と温度境界層の比
$$ Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu c_p}{k} $$
- 空気: Pr ≒ 0.7（ほぼ同等の境界層厚さ）
- 水 20°C: Pr ≒ 7（速度境界層が厚く、熱境界層が薄い）
- 水銀: Pr ≒ 0.025（液体金属は熱伝導が良い）
- 潤滑油: Pr ≒ 1000〜10⁴（粘性大、熱伝導小）
3. Nusselt 数 Nu — 熱伝達係数の無次元化
$$ Nu = \frac{h D}{k} $$
$h$ は対流熱伝達係数 [W/m²·K]、$k$ は流体熱伝導率。Nu=1 で純粋伝導、Nu>>1 で対流支配。
管内強制対流の Dittus-Boelter 式（乱流）:
$$ Nu = 0.023 Re^{0.8} Pr^{0.4} $$
水 20°C、Re = 25,000、Pr = 7 → Nu = 0.023 × 25000⁰·⁸ × 7⁰·⁴ = 156。h = Nu·k/D = 156×0.6/0.025 = 3744 W/m²·K。
4. Grashof 数 Gr / Rayleigh 数 Ra — 自然対流
$$ Gr = \frac{g \beta \Delta T L^3}{\nu^2} , \quad Ra = Gr \cdot Pr $$
$g$ 重力加速度、$\beta$ 膨張係数、$\Delta T$ 温度差、$L$ 代表長。
- Ra < 10⁹: 層流自然対流
- Ra > 10⁹: 乱流自然対流（垂直平板）
- 実例 [部屋の壁、ΔT=10K、L=2m、空気]: Ra ≒ 10¹⁰ → 乱流自然対流
5. Mach 数 Ma — 圧縮性の影響判定
$$ Ma = \frac{V}{c} = \frac{V}{\sqrt{\gamma R T}} $$
- Ma < 0.3: 非圧縮性近似 OK（密度変化 < 5%）
- 0.3 < Ma < 0.8: 亜音速、圧縮性必須
- 0.8 < Ma < 1.2: 遷音速、衝撃波発生
- Ma > 1: 超音速、ノズル設計が変わる
- Ma > 5: 極超音速、化学反応・解離考慮
6. Biot 数 Bi — 集中熱容量法の適用判定
$$ Bi = \frac{h L_c}{k_s} $$
$L_c = V/A$（特性長）、$k_s$ は固体熱伝導率。
- Bi < 0.1: 集中熱容量法適用可（物体内部の温度勾配無視）
- Bi > 0.1: 内部温度分布を考慮した解析が必要（フーリエ方程式）
7. Fourier 数 Fo — 非定常熱伝導の無次元時間
$$ Fo = \frac{\alpha t}{L^2} $$
$\alpha$ は熱拡散率。Fo = 0.2 で温度応答が初期条件依存性を失う目安。
8. Froude 数 Fr — 自由表面流
$$ Fr = \frac{V}{\sqrt{g L}} $$
- Fr < 1: 亜臨界流（深い・遅い）
- Fr > 1: 超臨界流（浅い・速い）
- 船舶設計、水路設計、ジャンプ流の判定
9. Weber 数 We — 表面張力影響
$$ We = \frac{\rho V^2 L}{\sigma} $$
液滴分裂、噴霧、毛管現象。We > 12 で液滴は不安定化（インク噴射、燃料噴射）。
適用フィールドマップ
| 解析対象 | 重要な無次元数 |
|---|---|
| 配管圧力損失 | Re（Moody 線図） |
| 熱交換器設計 | Re, Pr, Nu, St |
| 自然対流（PC放熱、建物） | Gr, Ra, Nu |
| 圧縮性流れ（ノズル、衝撃波） | Ma, Re |
| 船舶・自由表面 | Fr, Re |
| 噴霧・燃料 | We, Re, Oh |
| 部材冷却（焼入） | Bi, Fo |
| 物質移動（蒸発、溶解） | Sc, Sh |
| 回転機械（タービン） | Re, Ma, 比速度 |
関連シミュレーター・記事
無次元数を使う際の落とし穴
- 特性長 L の取り方: 管径・板長・粒径など対象で異なる。論文・規格と同じ定義を使う
- 物性値の温度依存性: μ, ν は温度で大きく変わる。膜温度（壁面と主流の平均）で評価
- 遷移範囲の不確かさ: Re=2300 は単なる目安、表面粗さ・乱れ度で 1500〜10000 と幅広い
- Nu 式の適用範囲外: Dittus-Boelter は Re>10⁴, Pr=0.7〜160 で有効。範囲外は別式（Gnielinski 等）
- 圧縮性無視: Ma > 0.3 で非圧縮性仮定を使うと密度誤差 ±5% 以上