プリセット軌道
パラメータ設定
ケプラーの法則・ビス・ビーバ方程式
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$$
$$v = \sqrt{\mu\!\left(\frac{2}{r}- \frac{1}{a}\right)}$$
$\mu = GM_\oplus = 3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$
$R_\oplus = 6371\ \mathrm{km}$（地球半径）
ケプラー軌道シミュレーターとは
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人工衛星の軌道って、どうして楕円になるんですか？円じゃダメなんですか？
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ざっくり言うと、衛星の速度が「ちょうど円軌道になる速度」から少しでもズレると、軌道は楕円になるんだ。このシミュレーターで「半長軸」はそのままに、「離心率」のスライダーを0から0.9くらいに動かしてみて。軌道が中心からどんどん歪んで、地球（焦点）に近づくところと遠ざかるところができるでしょ？これが楕円軌道の正体だよ。
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え、そうなんですか！じゃあ、近くを通るとき（近地点）と遠くを通るとき（遠地点）で、衛星の速度は変わるんですか？
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その通り！これがケプラーの第2法則「面積速度一定」だ。シミュレーターのアニメーションをゆっくりにして、衛星が動く様子を見てみよう。近地点ではビュッと速く通り過ぎ、遠地点ではのっそり動くのがわかる。画面右の「真近点角 vs 速度」グラフも、角度に応じて速度がガタガタ変わる様子を教えてくれるよ。
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「LEO」や「GEO」ってボタンがありますけど、これらは離心率が0の円軌道なんですか？
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良いところに気が付いたね！実務では、通信衛星などはほぼ円軌道（e≒0）だけど、全てが完璧な円ってわけじゃない。例えば「モルニア軌道」ボタンを押してみて。離心率が0.7以上もあるだろ？これは北極圏など高緯度地域を長時間カバーするための、すごくつぶれた楕円軌道なんだ。パラメータをいじって、どんな軌道が実用されているか体感してみよう。
物理モデルと主要な数式
軌道上の任意の点における衛星の速度は、ビス・ビーバ（vis-viva）方程式で求められます。エネルギー保存則から導かれ、位置と軌道の大きさが分かれば速度が計算できる便利な式です。
$$v = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}- \frac{1}{a}\right)}$$
$v$: 衛星の瞬間速度 [m/s]
$\mu$: 地球の重力定数 ($GM_\oplus \approx 3.986 \times 10^{14}\, \mathrm{m^3/s^2}$)
$r$: 地球中心から衛星までの瞬間距離 [m]
$a$: 軌道の半長軸 [m]
近地点（$r$最小）で速度最大、遠地点（$r$最大）で速度最小になります。
軌道周期は、ケプラーの第3法則に従い、半長軸$a$のみで決まります。軌道の形（離心率$e$）には依存しません。
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$$
$T$: 軌道周期 [s]
$a$: 軌道の半長軸 [m]
$\mu$: 地球の重力定数
この式から、半長軸を2倍にすると周期は約2.8倍になる（$2^{3/2} \approx 2.828$）ことがわかります。シミュレーターで半長軸を変えると、計算された周期がどう変わるか確認してみましょう。
実世界での応用
地球観測・有人宇宙活動（LEO）：高度約400kmの低地球軌道は、国際宇宙ステーション（ISS）や地球観測衛星が利用します。半長軸を約6770km（地球半径+高度）に設定すると、約90分で地球を一周する軌道が再現できます。大気の影響が少なく、地表に近いため高解像度観測に適しています。
全地球測位システム（GPS）：カーナビなどでおなじみのGPS衛星は、高度約20,200kmの中軌道を運行しています。半長軸を約26,570kmに設定すると、周期が約12時間（1日に2周）となる軌道が得られ、地球上のどこからでも常に複数の衛星が見える配置を実現しています。
通信・気象衛星（GEO）：静止軌道は、高度約35,786kmで周期がちょうど24時間（地球の自転周期）になります。半長軸を約42,160kmに設定し、離心率をほぼ0にすると、衛星は地球上の同じ地点の真上に止まって見え、テレビ中継や気象観測に利用されます。
高緯度地域通信（モルニア軌道）：ロシアなど高緯度地域向けの通信に使われる軌道です。離心率を0.7以上にし、遠地点を北半球側の非常に高い位置（約4万km）に、近地点を南半球側の低い位置に設定します。これにより、衛星が北極圏付近をゆっくり通過する時間が長くなり、効率的な通信が可能になります。
よくある誤解と注意点
このシミュレーターを使い始めるときに、特に気をつけてほしいポイントがいくつかあるよ。まず一つ目は、「半長軸は地球中心からの平均距離ではない」ということ。半長軸は楕円の「長半径」、つまり一番長い直径の半分だ。地球はその焦点にあるから、衛星の平均高度（地球表面からの平均距離）を知りたければ、半長軸から地球の半径（約6370km）を引く必要がある。例えば、半長軸を「26770km」に設定したら、それは静止軌道（GEO）だが、平均高度は26770-6370=約20400kmになるんだ。
二つ目は、「離心率を変えても軌道周期は変わらない」という点を見落としがちだってこと。周期は半長軸だけで決まるから、離心率をいじって軌道をつぶしても、一周する時間は同じ。でも、近地点と遠地点での速度差は激しくなる。実務では、この速度変化が衛星の姿勢制御や通信ドップラーシフトに影響するから、無視できないんだ。
最後に、シミュレーター上では完璧な軌道を描くけど、現実の軌道は「摂動」で常にゆがんでいるってことを頭に入れておこう。例えば、地球が完全な球じゃないこと（扁平率）や、月・太陽の重力、さらには大気抵抗（LEOでは特に重要）で、軌道は少しずつ変化する。このツールで学ぶのは「理想的なケプラー軌道」。それがベースにあって、初めて現実の複雑な摂動を理解できるんだ。
関連する工学分野
このツールで扱っている軌道力学の考え方は、人工衛星以外の様々な工学分野でも基礎として活きてくる。まず挙げるのは「ロケットの軌道設計と誘導制御」だ。ロケットは衛星を所定の軌道に「投入」するのが使命で、その最終的な速度と位置が、まさにこのシミュレーターの初期条件になる。例えば、打ち上げ後に最終ロケットエンジンを切る（燃焼終了：BECO）ときの速度がほんの数m/s違うだけで、投入される軌道の半長軸や離心率が変わってしまう。その感覚を、このツールでパラメータを微調整しながら体感できるわけだ。
次に、「宇宙機のランデブー・ドッキング」も軌道力学の応用の最たるものだ。ターゲットの宇宙船に接近するためには、ただ追いかけるのではなく、わざと少し低い（周期の短い）軌道に移って追い上げ、その後で軌道を合わせるといった操作が必要になる。このシミュレーターで半長軸を変えると周期がどう変わるかを理解しておくことは、その基本原理を押さえる第一歩になる。
さらに意外なところでは、「アンテナの追尾制御」にも関係する。特にモルニア軌道のような高度な楕円軌道の衛星を追いかける地上局アンテナは、衛星が空を高速で移動するため、精密な角度・速度制御が求められる。衛星が近地点付近を猛スピードで通過する様子をこのツールで見れば、なぜアンテナの設計が難しいかが直感的にわかるだろう。
発展的な学習のために
このシミュレーターで軌道の「見た目」と「基本法則」に慣れたら、次は数式と向き合ってみるのがおすすめだ。まずは「軌道六要素（軌道パラメータ）」を完全に理解しよう。このツールで直接触っているのは半長軸と離心率だけだけど、実際の軌道を3次元空間で決めるには、軌道面の傾き（軌道傾斜角）や、軌道上での楕円の向き（近地点引数）、地球に対する軌道面の位置（昇交点赤経）など、全部で6つのパラメータが必要なんだ。これがわかると、ISSの軌道やスターレンクの衛星コンステレーションの設計図が読めるようになる。
数学的な背景としては、「二体問題」と「保存則」を深掘りしてみてほしい。ケプラーの法則は全て、ニュートン力学の「万有引力の法則」から導かれる。その導出過程で、角運動量保存則（面積速度一定の正体）とエネルギー保存則（vis-viva方程式の源）がどう使われるかを追うと、物理的な理解がぐっと深まる。例えば、角運動量保存則から、速度$v$と地球中心からの距離$r$、そしてそのなす角の関係式 $r v \sin \phi = \text{const.}$ が得られる。これが、近地点で速度が最大になる理由の本質的な説明になるんだ。
次のステップとしては、このツールでは無視している「摂動論」の世界に進んでみよう。現実の軌道が理想からどうずれ、それをどう予測・制御するかが、実務の軌道決定（OD）や軌道維持の核心だ。例えば、地球の扁平率による摂動（J2項摂動）を学べば、静止衛星がなぜ定期的に東西方向の姿勢制御（スラスタ噴射）が必要なのか、その理由が理解できるようになるよ。