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軌跡（残像）
「ランダムウォーク」＝分子の衝突で粒子が不規則に動く。粒子を増やすと初期クラスターが広がる＝拡散が見えます。
平均二乗変位 MSD ⟨r²⟩ ∝ t
実測 ⟨r²⟩
理論 4Dt
理論・主要公式
$$\langle r^2 \rangle = 2dDt = 4Dt\ \ (2\text{D})$$
d=次元（2D）、D=拡散係数、t=経過時間。傾きから D=⟨r²⟩/(4t)。
アインシュタイン-ストークス式（大きい/冷たい/粘い→遅い）：
$$D = \frac{k_B T}{6\pi\eta r}$$
ブラウン運動・ランダムウォークとは
🙋
ブラウン運動って、画面の中で粒子がフラフラ動いてるだけに見えますけど、何がすごいんですか？
🎓
大まかに言うと、この「フラフラ」が分子の実在を証明したんだ。1905年、アインシュタインはこの動きを数学的に説明して、目に見えない水分子が花粉を蹴っているからだ、と証明したんだよ。このシミュレーターで「粒子数」を増やして、たくさんの粒子の動きの平均を見てみると、規則性が見えてくるよ。
🙋
規則性？ ランダムな動きなのに？ 画面の右側のグラフが「MSD」って書いてありますけど、これですか？
🎓
その通り！ MSD（平均二乗変位）は、粒子が初期位置からどれだけ離れたかの2乗の平均値だ。ランダムに見えても、この値は時間に比例してきれいに増えていく（⟨r²⟩=4Dt）。シミュレーターの「温度」を上げると分子の蹴りが強くなって拡散係数Dが大きくなり、MSDグラフの傾きが急になるのがわかるよ。
🙋
へー！ でも、この「拡散係数D」って、実世界ではどうやって決まるんですか？ シミュレーターで推定できるDと関係あるんですか？
🎓
良い質問だ！ 実世界では、アインシュタイン-ストークスの式D=kT/(6πηr)で決まる。「粒子径」を大きく、「粘性」を上げ、「温度」を下げると、粒子はどんどん遅くなる。「低温・粘性大」プリセットを押して、MSDの傾きが寝るのを見てみよう。実務では、細胞内の分子移動や、半導体の不純物拡散の予測に、この考え方が基礎として使われているんだ。
よくある質問
MSDは平均二乗変位（Mean Squared Displacement）の略で、粒子が初期位置からどれだけ広がったかを示す指標です。アインシュタインの関係式⟨r²⟩=2dDt（2Dでは4Dt）に従い、時間経過とともに直線的に増加します。グラフの傾きから拡散係数Dを推定できます。
アインシュタイン-ストークス式D=kT/(6πηr)より、温度を上げるとDが増えて拡散が速くなり、粒子径や粘性を上げるとDが減って遅くなります。粒子数を増やすと統計精度が向上し、MSDのばらつきが減ります。
シミュレーション中のMSDグラフの直線部分の傾きを確認します。2次元（d=2）の場合、傾きは4Dに相当するため、D=⟨r²⟩/(4t)で求まります。ライブ数値の「D推定値」が理論値D=kT/(6πηr)に近づくことを確認できます。粒子数が多いほど推定精度が高まります。
アインシュタインの関係式に従う2次元ランダムウォーク（ステップ分散∝D·dt）として実装しており、温度・粘性・粒子径の効果を定性的に再現します。ただし表示は正規化単位（px・s）であり、実物理量への換算には長さ・時間スケールの設定が必要です。
実世界での応用
創薬・ドラッグデリバリー：ナノサイズの薬剤粒子が血液中をどのように拡散し、患部に到達するかを予測する基礎モデルとして利用されます。粒子サイズと拡散速度の関係は、薬の設計に直結します。
半導体プロセス：シリコンウェハー中に不純物（ドーパント）を熱拡散させてトランジスタを作る工程で、不純物の広がり方を予測するために拡散方程式が用いられ、その基礎にブラウン運動の理論があります。
環境科学：大気中の微粒子（PM2.5）や水域の汚染物質がどのように広がるかをモデル化する際の基礎過程です。乱流の影響を加味したより複雑なモデルの出発点となります。
金融工学：株価の変動を幾何ブラウン運動としてモデル化し、オプション価格の評価（ブラック-ショールズモデル）などに応用されています。ここでの「ランダムウォーク」は価格の不確実性を表します。
よくある誤解と注意点
このシミュレーターを使い始めるときに、特にCAE初心者が陥りがちなポイントがいくつかあるよ。まず一つ目は、「粒子数が多ければ多いほど正確」と思いがちなこと。確かに統計的なばらつきは減るけど、計算負荷は爆発的に増える。実務では、必要な精度と計算コストのトレードオフを常に考えるんだ。例えば、拡散係数Dを大まかに把握したいだけなら100粒子でも十分だけど、厳密な分布形状を知りたいなら1000粒子以上は必要かもしれない。その判断ができるのがプロの勘所だね。
二つ目は、「温度・粘性・粒子径」と「拡散係数D」の関係を混同しやすい点。実世界ではDは物質の性質（温度、粘性、粒子サイズ）で決まる「結果」だ。シミュレーションはそのDを再現するために、適切なステップ分散や時間ステップΔtを逆算して設定する必要がある。本ツールはアインシュタイン-ストークスのD=kT/(6πηr)を内部で計算し、ステップ分散2DΔtに反映している。この「モデル化」のプロセスを理解しておかないと、ただのゲームで終わってしまうよ。
最後に、「反射」境界条件の落とし穴。容器を再現できる便利な機能だけど、現実の分子は完全に弾性反射するわけじゃない。壁に近づくと摩擦や化学的な相互作用が起こることもある。シミュレーションで反射条件を使うのは「第一近似」に過ぎないことを頭に入れておこう。細胞内のように複雑な環境を模倣するには、境界に特別なルール（例えば、ある確率で吸着するなど）を追加する必要が出てくるんだ。
