2×2行列の各成分をスライダーで操作して、2次元グリッドが回転・拡大・せん断される様子をリアルタイムアニメーションで確認。固有ベクトルが変換で向きを変えない理由が直感的にわかる。
青：変換前のグリッド／赤：変換後のグリッド／黄矢印：固有ベクトル
$\det(A) = ad - bc$（面積倍率）
固有値：$\lambda = \dfrac{(a+d) \pm \sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2}$
$A\mathbf{v}= \lambda\mathbf{v}$ — 固有方程式
コンピュータグラフィックスと画像処理：画像の回転、拡大縮小、せん断変形は全て行列変換で記述されます。このツールで遊ぶことが、画像をプログラムで変形する原理の直感的理解に直結します。
構造力学とCAE（有限要素法）：材料の変形や応力は局所的に線形変換で近似できます。また、構造物の振動解析（固有振動数と振動モード）は、大規模な行列の固有値問題として解かれ、設計の基礎データとなります。
主成分分析（PCA）：多次元データの分析で、データの広がりが最大となる方向（主成分）を見つける技術です。これはデータの共分散行列の固有ベクトルを求める問題であり、ここで学ぶ概念の直接的な応用です。
制御理論：ロボットや機械の動きを記述し、制御する状態方程式は、線形代数の言葉で書かれます。システムの安定性は、関連する行列の固有値の位置で判断されます。
このビジュアライザーで遊び始めるとき、いくつかつまずきやすいポイントがあるから気をつけてね。まず、「行列の成分をいじると、変形はいつも原点を中心に起こる」ということを頭に入れておこう。例えば、回転スライダーを動かすとグリッド全体が原点を中心に回るよね？ 実務で「ある特定の点を中心に回転させたい」と思ったら、この基本の変換だけでは足りなくて、平行移動（アフィン変換）の知識が必要になるんだ。次に、固有ベクトルが常に直交すると思い込まないこと。確かに回転行列や対称行列の固有ベクトルは直交するけど、例えば a=1, b=1, c=0, d=2 のような一般的な行列では、赤と青の矢印（固有ベクトル）は斜めに交わるだけだ。これが「主軸」が直交しない変形の実例だよ。最後に、行列式(det)が0に近づくときの挙動に注意。ad-bcの値が0になると、面積倍率が0、つまり2次元の面が1次元の線や点にぺちゃんこにつぶれる（「退化」する）。例えば a=1, b=2, c=2, d=4 にすると行列式は0になるけど、この時、全ての点が直線 y=2x 上に押し出されるのが確認できる。こういう状態は連立方程式が解けなかったり、制御が不能になったりすることを意味していて、実務では絶対に避けたい状況なんだ。
鋼製フレーム構造の応力解析で使用される例：行列 A = [[2, 1], [0, 3]] の場合、det(A) = 6×1 - 1×0 = 6（面積6倍拡大）、tr(A) = 2 + 3 = 5、固有値は λ₁ = 2（x軸方向の引張応力倍率）、λ₂ = 3（y軸方向の引張応力倍率）です。スライダーで a=2, b=1, c=0, d=3 と設定すると、90度回転したグリッド四角形が2×3の楕円形に変換される様子が確認でき、固有ベクトル（1, 0）と（0, 1）は向き不変のまま拡大されます。