2×2行列を入力するだけで、グリッド・基底ベクトル・図形がどう変換されるかをスムーズにアニメーション表示。固有値・行列式・直交性をリアルタイム計算。
赤矢印：e₁=[1,0] ／ 緑矢印：e₂=[0,1] ／ 変換後は太線で表示
特性方程式：$\det(M - \lambda I)=0$
$\lambda^2 - \text{tr}(M)\lambda + \det(M) = 0$
固有ベクトル：$(M-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$
構造力学・固有振動解析：橋梁や建築物の振動特性を調べる際、剛性行列$K$と質量行列$M$から成る一般化固有値問題 $K\phi = \omega^2 M\phi$ を解きます。これにより、建物が揺れやすい「形」（固有ベクトル=モード形状）とその「周期」（固有値から計算）を求め、耐震設計に役立てます。
材料力学・ひずみ解析：材料に力が加わった時の内部のひずみ状態は、ひずみテンソル（行列）で表されます。主ひずみ方向（固有ベクトル）とその大きさ（固有値）を求めることで、材料が最も伸び縮みする方向を特定し、破壊の予測に用います。
コンピュータグラフィックス・画像処理：3Dモデルの回転、拡大縮小、せん断変形は全て行列変換で実行されます。また、画像の主成分分析（PCA）ではデータの広がりが最大となる方向（主成分=固有ベクトル）を見つけ、画像圧縮や特徴抽出に応用されます。
有限要素法（FEM）の基礎：CAEの核心であるFEMでは、複雑な形状を小さな要素（メッシュ）に分割し、各要素の剛性を表す「要素剛性行列」を座標変換（ここで登場する行列変換）を用いて全体座標系に合成し、大規模な連立方程式を構築して解析を行います。
このツールで遊び始めるとき、いくつか気をつけてほしいポイントがあるよ。まず、「2次元だから単純」と思わないこと。実務のCAEモデルは数百万次元の行列になるけど、そこで起きている本質的な現象（固有値問題や特異値分解）は、この2×2の世界で全て体験できるんだ。次に、パラメータを極端にすると図形が画面からはみ出したり、つぶれて見えなくなったりするよね。これは行列式 $\det(M)$ が0に近づき、変換が「潰し」になる状態。実はこれ、連立方程式が解けなくなる（特異）状態と数学的に同じで、構造解析で剛性マトリクスが特異だと計算が破綻する理由が体感できる。
また、「固有ベクトルはいつも直交する」と誤解しがちだ。確かに回転行列など対称行列の場合は直交するけど、せん断(k)を大きく加えた非対称行列では、固有ベクトルは斜めに交わる。この違いが、振動解析（対称）と流体の変形解析（非対称になり得る）で数学的扱いが変わる理由の一端なんだ。最後に、ツール上ではパラメータをバラバラに変えられるけど、実問題では物理法則によってパラメータ間に制約が生まれることを忘れないで。例えば、等方性材料の弾性行列は特定の対称性を持っていて、でたらめな数字の行列にはならないんだ。
回転行列でθ=45°の場合、m00=0.707、m01=-0.707、m10=0.707、m11=0.707となり、単位正方形の頂点(1,0)は(0.707,0.707)に変換されます。一方、スケーリング行列でsx=2.0、sy=0.5を適用すると、幾何学的には水平方向に2倍、垂直方向に0.5倍に拡大縮小され、行列式は1.0となり面積は保存されます。剪断変換（m01=0.5、他は単位行列）では正方形が平行四辺形に変形され、固有ベクトルは剪断方向と不変方向を示します。