相控阵天线的CAE仿真
理论与物理
概述 — 什么是相控阵
相控阵就是战斗机雷达上用的那个吗？
是的，像F-35上搭载的AN/APG-81这样的AESA（有源电子扫描阵列）雷达就是典型例子。最近也搭载在5G基站和Starlink的卫星终端上。其最大特点是能通过电子控制每个单元的相位和振幅，以毫秒级速度扫描波束。
意思是说不需要机械转动天线了吗？那太厉害了。
正是如此。传统的旋转式抛物面雷达，其波束扫描受限于机械旋转速度。相控阵因为是电子控制，所以每秒可以进行数千次波束切换。还能同时追踪多个目标，或在雷达与通信模式间切换。宙斯盾舰的SPY-1雷达用约4,400个单元覆盖全方位，5G基站则用64~256单元的Massive MIMO向城市用户发射独立波束。
那么，就是用CAE来模拟这个相控阵对吧？关键点是什么？
核心有三点。(1) 阵列因子——由单元布局和相位差决定的波束方向性图，(2) 单元方向图——单个单元的辐射特性，(3) 互耦——相邻单元间的电磁干扰。能否准确建模这三点，决定了仿真的可靠性。
阵列因子（AF）
能告诉我阵列因子的公式吗？
由N个等间距单元组成的线性阵列（一维阵列）的阵列因子可表示为：
我们来整理一下各变量的含义。
- $N$ — 单元数
- $a_n$ — 第 $n$ 单元的激励振幅（锥削权重）
- $k = 2\pi/\lambda$ — 自由空间波数
- $d$ — 单元间距
- $\theta$ — 阵列法线方向的角度
- $\beta$ — 相邻单元间的相位差（用于波束扫描）
如果是等振幅 ($a_n = 1$) 的情况，能写成闭合形式吗？
问得好。对于各向同性等振幅的均匀阵列，可以用几何级数公式闭合为：
从这个式子可以看出，当 $\psi = 0$ 时 $AF = N$，取得最大值。也就是说主波束指向 $\sin\theta_0 = -\beta / (kd)$ 的方向。零点（零值）出现在 $\psi = 2m\pi/N$ ($m \neq 0, N, 2N, \ldots$) 处。
单元方向图与方向图乘积原理
仅凭阵列因子就能决定整个辐射方向图吗？
不，仅凭那个还不够。每个单元本身也有其固有的辐射方向图（单元方向图）。整体的辐射方向图由方向图乘积原理决定。
例如，使用偶极子单元的阵列，偶极子固有的 $\cos\theta$ 方向图会与AF相乘。如果是贴片天线单元，则会是 $\cos^n\theta$ 这样的方向图。单元方向图的包络包裹着AF的峰值，所以例如，如果阵列因子的栅瓣位置与单元方向图的零点重合，有时栅瓣实际上会被抑制。
也就是说，单元的选择方式也会对整个阵列的性能有很大影响对吧。
没错。所以在CAE仿真中，基本采用两步走的方法：首先准确求出单个单元的辐射方向图，然后再进行整个阵列的分析。
波束扫描原理
只要改变相位差 $\beta$ 就能改变波束方向吗？我想直观地理解一下。
试着从波前的角度来思考。所有单元同相位 ($\beta = 0$) 辐射时，波前与阵列面平行——也就是波束指向正面（侧射）方向。这时，如果让相邻单元之间的相位依次稍微延迟，波前就会倾斜。这就是波束扫描。
如果想将波束指向 $\theta_0$ 方向，只需按上式设置 $\beta$ 即可。例如，$d = \lambda/2$，$\theta_0 = 30°$ 时，$\beta = -\pi \sin(30°) = -\pi/2 \approx -90°$。只需让每个单元依次延迟 $90°$，波束就会倾斜 $30°$。
太简单了。但是能扫描到多大角度呢？
理论上可以扫描到 $\pm 90°$，但实用上 $\pm 60°$ 左右是极限。原因有两个。(1) 波束宽度与 $1/\cos\theta_0$ 成正比地变宽，增益下降（$\cos\theta_0$ 因子）。(2) 大角度时更容易出现栅瓣或扫描盲区。
栅瓣条件
经常听到栅瓣这个词，为什么需要 $d < \lambda/2$ 呢？
栅瓣是指，在主波束之外出现与主瓣强度相当的辐射的现象。其产生原理与光学中的衍射光栅相同。
不产生栅瓣的条件是，当波束扫描到 $\theta_0$ 方向时：
如果只考虑侧射方向（$\theta_0 = 0°$），那么 $d < \lambda$ 即可，但如果希望向全方向扫描（$\theta_0 = 90°$），则需要 $d < \lambda / 2$。在实际工作中，大原则是不超过 $d = 0.5\lambda$。
5G的毫米波频段（28 GHz）下 $\lambda \approx 10.7$ mm，所以单元间距大约是5 mm左右吧。相当密集啊。
是的。在毫米波频段，物理空间限制变得非常严格，因此除了TR（收发）模块的小型化，单元间距的设计也极为重要。反过来说，VHF频段（数百MHz）的雷达，$\lambda$ 在1米左右，所以整个阵列的规模会达到数十米。
旁瓣控制 — 锥削
均匀阵列的旁瓣会很高吧。怎么抑制呢？
使用振幅锥削。通过增强中央单元的激励，减弱边缘单元的激励来抑制旁瓣。我们来总结一下典型的窗函数与旁瓣电平的关系。
| 窗函数 | 第一旁瓣 (dB) | 波束宽度增加 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 均匀 | -13.3 | 基准 | 需要最大增益时 |
| 余弦 | -23 | ×1.36 | 中等程度抑制 |
| 汉明 | -42.8 | ×1.50 | 通信天线 |
| 泰勒 ($\bar{n}$) | 可任意设定 | 任意 | 雷达（SLL/BW控制） |
| 切比雪夫 | 等波纹 | 任意 | 在最小波束宽度下保证SLL |
| 多尔夫-切比雪夫 | -20〜-40 | ×1.1〜1.4 | 最优折衷 |
降低旁瓣会使主波束变宽呢。存在权衡关系。
是的。这与傅里叶变换的不确定性原理相同，在空间域加窗会使角度域的旁瓣降低，但主瓣会变宽。雷达中常用泰勒锥削。其设计是“保持前 $\bar{n}$ 个旁瓣处于相同电平，其余的按 $1/u$ 衰减”，可以取得实用的平衡。
扩展到2D平面阵列
将线性阵列理论扩展到二维，则 $M \times N$ 的矩形平面阵列的阵列因子为
$$ AF(\theta,\phi) = \sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\, e^{\,j\,(m\psi_x + n\psi_y)} $$其中 $\psi_x = k d_x \sin\theta\cos\phi + \beta_x$, $\psi_y = k d_y \sin\theta\sin\phi + \beta_y$。在可分离的情况下（$a_{mn} = a_m^{(x)} a_n^{(y)}$），可以写成 $AF = AF_x \cdot AF_y$。实际的5G基站天线（例如 $8 \times 8$ 面板）就是用这个2D AF来控制波束的俯仰角和方位角。
增益与方向性系数
各向同性单元的均匀线性阵列的最大方向性系数为
$$ D_{\max} = N \cdot \frac{d}{\lambda} \cdot 2 \quad (\text{侧射, } d = \lambda/2 \text{ 时 } D = N) $$$M \times N$ 的平面阵列可近似为 $D \approx \pi M N (d_x d_y / \lambda^2) \cdot 4$。不过，由于单元方向图的影响和边缘效应，实际有效的增益通常比理论值低2〜3 dB。
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 备注 |
|---|---|---|
| 波长 $\lambda$ | m | $\lambda = c/f$。28 GHz时为10.7 mm |
| 波数 $k$ | rad/m | $k = 2\pi/\lambda$ |
| 单元间距 $d$ | m | 常归一化为 $d/\lambda$ 来讨论 |
| 相位差 $\beta$ | rad | 注意与角度制的混淆 |
| 方向性系数 $D$ | 无量纲 / dBi | $D_{\mathrm{dBi}} = 10\log_{10}(D)$ |
| 电场强度 $E$ | V/m | 远场：与 $1/r$ 成比例衰减 |
相控阵的起源 — 战时的雷达竞争
相控阵的概念诞生于第二次世界大战期间。德国的MAMMUT（猛犸象）雷达和英国的Chain Home是早期的阵列天线系统。“机械转动天线太慢”这一迫切的军事需求，极大地推动了相位控制波束扫描理论的发展。冷战时期的BMEWS（弹道导弹早期预警系统）中，AN/FPS-115 PAVEPAWS实现了实用化，并延续到现代的AESA雷达。阵列因子的公式本身是基于平面波叠加这一极其简单的物理，而这同一个公式在70年后的5G智能手机和特斯拉的自动驾驶雷达中仍在使用。
数值解法与实现
电磁场解析方法比较
相控阵的电磁场仿真使用哪些方法？
主要有四种方法。各自擅长的领域不同，因此根据问题选择使用非常重要。
| 方法 | 简称 | 支配方程 | 擅长的问题 | 代表软件 |
|---|---|---|---|---|
| 有限元法 | FEM | Maxwell方程组的弱形式 | 复杂形状・非均匀介质 | Ansys HFSS |
| 时域有限差分法 | FDTD | Maxwell旋度方程的Yee网格离散化 | 宽带・瞬态分析 | CST, OpenEMS |
| 矩量法 | MoM | 积分方程 (EFIE/MFIE) | 金属结构・开放区域 | FEKO, ADS Momentum |
| 物理光学法 | PO/GO | 高频近似 | 电大尺寸结构 | Ansys SBR+, GRASP |
全波分析的Maxwell方程组是什么形式？
假设时谐场（$e^{j\omega t}$），则可以从Maxwell方程组导出矢量波动方程。
在FEM中，将其用Galerkin法弱形式化，并用边单元（Nedelec单元）离散化。使用边单元的原因是，它能自动保证矢量场的切向连续性，并能排除伪（非物理的虚假）解。如果用节点单元近似电场矢量，会混入大量伪解而无法使用。
无限阵列近似（Floquet边界）
如果对几百个单元的阵列全部建模，计算量会爆炸吧，怎么应对呢？
非常好的问题。大规模阵列仿真中最常用的是无限阵列近似。只对周期性结构的一个单元（一个单元部分）进行建模，并在其周围应用Floquet周期边界条件。
Floquet边界条件规定相邻单元之间的电场关系如下：
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