八木-宇田天线的设计与CAE分析
理论与物理
概述与工作原理
八木天线是以前电视用的天线吧？现在还在用吗？
当然还在用。地面数字广播的接收天线、业余无线电的HF〜UHF频段，还有ISM频段的IoT传感器中也广泛使用。结构简单却能获得高增益、高指向性是它最大的优势。
简单的结构能有那么强的指向性真不可思议。是什么原理呢？
八木·宇田天线由三种振子构成。辐射器（驱动振子）是唯一供电的振子，通常是半波偶极子。在其后方放置反射器，前方放置一根或多根引向器。反射器和引向器通过电磁耦合寄生工作——也就是说它们不直接供电，而是由辐射器的感应电流驱动。
意思是寄生振子会自动产生相位差，从而将能量集中到前方吗？
没错。反射器通过设置得比谐振长度稍长来获得感性电抗，使得再辐射波的相位向前方增强的方向偏移。相反，引向器则设置得比谐振长度短以获得容性电抗，同样实现向前方增强。各振子的长度和间距决定了相位差，所以这里是设计的要点。
振子的作用与设计参数
具体来说，各振子的长度大概设置成多少呢？
首先以波长 $\lambda$ 为基准来考虑。自由空间中的波长是：
这里 $c = 3 \times 10^8$ m/s（光速），$f$ 是工作频率。例如430 MHz频段的话 $\lambda \approx 0.698$ m。各振子典型的设计值如下：
| 振子 | 长度参考 | 间距参考 | 作用 |
|---|---|---|---|
| 反射器 | $l_{\text{ref}} \approx 0.50\lambda$ | 距辐射器后方 $d_{\text{ref}} \approx 0.15\text{--}0.25\lambda$ | 抑制后方辐射 |
| 辐射器 | $l_{\text{drv}} \approx 0.47\text{--}0.48\lambda$ | （基准位置） | 供电·主辐射 |
| 引向器 | $l_{\text{dir}} \approx 0.40\text{--}0.45\lambda$ | $d_{\text{dir}} \approx 0.15\text{--}0.35\lambda$ | 增强前方指向性 |
引向器可以无限增加吗？增加越多增益越高？
增加越多增益越高，但会出现收益递减。增加1~3根引向器效果显著，但超过10根后，每根带来的增益增加会降至0.2~0.3dB左右。同时天线会变长，还会出现风荷载和安装强度的问题。实用中，UHF频段5~15个振子，VHF频段3~7个振子左右是平衡性较好的设计。
支配方程
出发点是麦克斯韦方程组。在时间谐波假设（$e^{j\omega t}$）下：
由此引入矢量势 $\mathbf{A}$，则电场为：
对于线天线，采用细线近似，导体上的电流分布 $I(z')$ 所对应的Pocklington积分方程是基础：
这里 $k = 2\pi/\lambda = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 是波数，$G(z, z')$ 是自由空间格林函数：
$a$ 是导体的半径。
积分方程中的格林函数，物理上意味着什么？
粗略地说，是表示“某个位置的微小电流源在另一个位置产生多少电磁场”的核函数。可以想象成向池塘投石时波纹扩散的样子。距离越远影响越弱，相位也会旋转。八木天线中，各振子上的所有点都通过这个格林函数相互耦合，所以会形成联立积分方程。
辐射方向图与增益
增益的计算公式，是只由振子数量决定的吗？
常用的简易增益估算公式是这个：
但这只是个参考，实际上振子间距、各振子长度、导体直径都会综合影响。准确地说，需要计算阵列因子和单元方向图的乘积来得到远场。由 $N$ 个振子组成的阵列的远场为：
这里 $I_n$ 是各振子的电流振幅和相位（由MoM求得），$f_n(\theta)$ 是各振子单独的辐射方向图，$\mathbf{r}_n$ 是振子的位置矢量。
作为表示指向性的具体数值，比如5个振子的话，大概能有多少增益？
对于振子间距和长度设计得当的5振子八木天线，典型值大约是9~10dBi左右。10振子的话12~13dBi，15振子的话14~15dBi。用MoM或FDTD进行优化的话，通常比手工计算的初始设计能改善1~2dB。在实际工作中，这“最后的1dB”会影响整个系统的链路预算，所以仿真优化的价值很大。
F/B比与指向性
经常听到F/B比，它表示什么？
前后比（F/B比）是用dB表示的主辐射方向（$\theta=0°$）与相反方向（$\theta=180°$）的辐射功率之比：
可以通过调整反射器的长度和间距来控制。一般以15~25dB为目标。例如，在地面数字接收时，如果后方有其他中继站，F/B比低的话就会拾取干扰，导致图像出现块状噪点。
原来如此，F/B比直接关系到接收质量啊。反射器不用1根而用2根的话会更好吗？
使用2根反射器或反射栅格（格状反射器）可以改善F/B比，但对输入阻抗的影响很大，平衡起来比较困难。从实用角度出发，用1根反射器瞄准F/B比20dB以上，如果还需要改善再微调反射器间距，这样成本效益更好。
输入阻抗与匹配
听说八木天线的输入阻抗很低，怎么处理呢？
问得好。由于寄生振子的相互耦合，辐射器的输入阻抗会从半波偶极子单独的73Ω大幅下降，典型值约为20~35Ω。直接与50Ω同轴电缆连接会导致VSWR恶化。常用的对策有：
- 折合偶极子：将阻抗转换到约4倍（接近 $Z \approx 4 \times 20 = 80$Ω）
- 伽马匹配 / 德尔塔匹配：在辐射器和横梁之间加入调整棒进行阻抗变换
- 巴伦（平衡-不平衡转换器）：同轴电缆（不平衡）与偶极子（平衡）的转换
仿真中，用S参数 $S_{11}$ 和VSWR（电压驻波比）来评估匹配的好坏：
通常以VSWR 1.5以下（$S_{11} < -14$ dB）为目标。
在敌方雷达上首次得到评价的日本发明
八木·宇田天线是1926年由东北帝国大学的八木秀次和宇田新太郎发表的，但在当时的日本并未受到关注。然而在第二次世界大战中，攻占新加坡时发现英军使用的雷达天线采用了八木结构。据说被俘的英国技术人员惊讶地问：“你们不知道Yagi天线吗？” 通过敌国重新发现本国的发明，这段讽刺的历史象征着基础研究的应用可能性是难以预测的。
Pocklington积分方程各项的物理意义
- 核函数 $G(z,z')$：位置 $z'$ 的微小电流在位置 $z$ 产生的电磁场强度和相位。与距离 $R$ 成反比，包含 $e^{-jkR}$ 的相位旋转。
- 微分算子 $(\partial^2/\partial z^2 + k^2)$：关于电场轴向分量（振子轴方向）的亥姆霍兹型运算。统一处理近场和辐射场。
- 右边 $E_z^{\text{inc}}$：入射电场的振子轴方向分量。对于馈电振子，对应馈电点的电压；对于寄生振子，等于来自其他振子的耦合波。
- 细线近似的前提：导体半径 $a$ 远小于波长（$a \ll \lambda$）。典型条件是 $a/\lambda < 0.01$。如果这个条件不成立，就需要更复杂的面电流模型。
设计参数的灵敏度与相互影响
- 引向器长度的变化：长度变化 $\pm 2\%$，增益会波动0.3~0.5dB。频带边缘的影响尤其大。
- 振子间距：间距增大会提高增益但旁瓣会增加。太窄则相互耦合变强，阻抗会不稳定。
- 导体直径的影响：粗导体能拓宽带宽，但谐振频率会发生偏移。φ2mm和φ5mm的带宽有时会相差1.5倍左右。
- 横梁（支撑杆）的影响：金属横梁有使各振子电气上缩短的效果，需要修正。如果是绝缘横梁则没有影响。
量纲分析与设计的单位制
| 参数 | 单位 | 典型值域 |
|---|---|---|
| 波长 $\lambda$ | m | UHF 430MHz: 0.698m, VHF 144MHz: 2.08m |
| 振子长 $l$ | m or $\lambda$ | $0.40\lambda$〜$0.50\lambda$ |
| 振子间距 $d$ | m or $\lambda$ | $0.15\lambda$〜$0.35\lambda$ |
| 导体直径 $2a$ | mm | 2〜10mm（UHF） |
| 增益 $G$ | dBi | 5振子: 9〜10, 15振子: 14〜15 |
| F/B比 | dB | 15〜25 |
| 带宽（VSWR $\leq$ 2） | % | 5〜10%（随振子数变化） |
数值解法与实现
矩量法（MoM）
分析八木天线最常用的方法是哪个？
对于线天线，矩量法（Method of Moments, MoM）是最有效的。将刚才的Pocklington积分方程离散化成联立方程。
将各振子分割成段，用基函数（脉冲函数或正弦函数）展开各段的电流：
将其代入Pocklington方程，并用测试函数 $w_m(z)$ 进行加权积分，得到阻抗矩阵方程：
$Z_{mn}$ 是第 $m$ 个测试段与第 $n$ 个电流段之间的互阻抗。
分段数大概多少比较合适？
基本原则是每个振子至少分成 $\lambda/10$ 以下的段长。半波振子的话至少5段，追求精度则推荐10~20段。5振子的天线，如果每个振子20段，那么整体就是100×100的阻抗矩阵——现在的电脑不到1秒就能算完。MoM的一大优点是能自然地处理开放空间。不需要像FEM或FDTD那样设置吸收边界条件。
FDTD法
FDTD在什么时候用呢？MoM不够用吗？
有几个场景FDTD更有优势。首先是评估宽带特性——在时域进行一次仿真，通过FFT就能得到所有频率的响应。MoM则需要为每个频率重新组装矩阵。其次，当天线附近有介质基板或金属外壳时。分析印刷电路板上的八木天线或手机内置天线时，FDTD极其方便。
FDTD的空间步长为：
时间步长由Courant条件决定：
如果导线半径比网格尺寸细怎么办？
提得好。八木天线的导体直径只有几毫米，但FDTD的网格是$\lambda/20$，有几厘米。这时使用细线模型，以亚网格精度来表现比网格细的导线。CST Studio Suite或OpenEMS都标准配备这个功能。如果不使用，导体直径的影响就无法正确反映，需要注意。
基于FEM的电磁场分析
结构分析中熟悉的FEM也能用于天线吗？
可以。Ansys HFSS就是代表性的基于FEM的高频仿真器。电磁场FEM中，使用边单元（Nedelec单元、棱边单元）是标准做法，这样可以排除伪模（非物理解）。
FEM对于复杂3D形状灵活性高，但对于只有导线结构的八木天线来说有点大材小用。不过，在进行天线+天线罩（保护罩）的分析，或者需要精确计算与金属横梁的耦合时，FEM有时能得到比MoM更准确的结果。
对于开放空间的截断，使用吸收边界条件（ABC）或PML（完全匹配层）：
PML的厚度通常为$\lambda/4$以上，推荐多项式次数 $m=3\text{--}4$。
方法比较与选用
到底该用MoM、FDTD还是FEM呢？想要一个判断标准。
| 方法 | 擅长 |
|---|
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