偶极天线理论、数值分析与实践指南
理论与物理
概要 —— 什么是偶极子天线
偶极子天线在教科书第一章就出现了，实际中真的会用到吗？
用得非常多。Wi-Fi路由器上的棒状天线就是偶极子——准确说是使用了接地平面的单极子，但原理相同。FM广播和业余无线电天线中，半波偶极子也是标准配置。而且，它还是测量所有其他天线增益的基准（0dBd = 2.15dBi）。就像是天线工程中的“米原器”。
原来如此，是作为基准的基本天线啊。结构上是怎样的呢？
将两根导体棒（振子）直线排列，从中心馈入高频信号。全长是波长一半（$\lambda/2$）的称为半波偶极子。例如2.4GHz的Wi-Fi，波长125mm，那么每边约31mm的导体两根。结构非常简单，但能否清楚解释其输入阻抗为何是 $73 + j42.5\,\Omega$，是检验电磁学理解程度的试金石。
微小偶极子的辐射
直接从半波长开始好像有点难，可以从更简单的模型开始吗？
好主意。首先从微小偶极子（赫兹偶极子）开始。当波长相比非常短（$l \ll \lambda$）的导体上流过均匀电流 $I_0$ 时，远场的电场为：
这里 $\eta_0 = 120\pi\,\Omega$ 是自由空间阻抗，$k = 2\pi/\lambda$ 是波数。重要的是 $\sin\theta$ 部分，在 $\theta = 90°$（垂直于天线的方向）最大，在 $\theta = 0°, 180°$（天线轴向）为零。也就是甜甜圈型的辐射方向图。
辐射电阻是怎样的呢？
从远场计算坡印廷矢量并在整个立体角上积分得到辐射功率 $P_{rad}$，由 $P_{rad} = \frac{1}{2}R_{rad}|I_0|^2$ 得出辐射电阻：
例如 $l = \lambda/10$ 时，$R_{rad} \approx 7.9\,\Omega$。相对于波长越短，辐射电阻越小，辐射效率越差。这就是“电尺寸小的天线效率低”的原因。手机天线设计困难也在于此。
半波偶极子的电流分布与辐射方向图
感觉微小偶极子过于理想化了。实际的半波偶极子会有什么不同呢？
问得好。半波偶极子（全长 $L = \lambda/2$）的电流分布不是均匀的，而是呈正弦波状：
中心（馈电点）最大为 $I_0$，两端为零。根据这个电流分布计算远场：
与微小偶极子的 $\sin\theta$ 相比，$\cos(\frac{\pi}{2}\cos\theta)/\sin\theta$ 是稍微“收窄”的方向图。最大辐射方向（$\theta = 90°$）相同，但轴向的零点更深。这个差异就体现在方向性的不同上。
电流在两端为零，这很直观。因为是开路端，电流无法流动对吧？
没错。和传输线开路端的边界条件相同。电流为零，但电压（电场）最大。这种电压·电流分布形成驻波是偶极子的本质，可以说“天线是开放的传输线”。
73Ω辐射电阻与输入阻抗的推导
73Ω这个数字有点不上不下呢。为什么会这样？
由远场 $E_\theta$ 计算坡印廷矢量 $\mathbf{S} = \frac{1}{2\eta_0}|E_\theta|^2 \hat{r}$，并在全球面上积分得到辐射功率：
这个积分无法解析地求出闭合形式，数值积分结果约为1.219。由 $P_{rad} = \frac{1}{2}R_{rad}|I_0|^2$ 得：
电磁学教科书上写的“约73Ω”就是这个计算结果。与50Ω同轴电缆有轻微失配，但与75Ω电缆相当接近。实际上，电视的75Ω阻抗，历史上就是根据半波偶极子的辐射电阻确定的。
输入阻抗 $73 + j42.5\,\Omega$ 中的虚部是从哪里来的？
天线近场区存在储存能量的电抗成分。正好在半波长（$L = \lambda/2$）时，储存的电场能量略微超过磁场能量，因此呈感性（正电抗 $j42.5\,\Omega$）。
实际应用中，我们希望消除这个电抗使其成为纯电阻，所以会将天线长度缩短到约 $0.47\lambda$～$0.48\lambda$。这样电抗变为零，$Z_{in} \approx 73\,\Omega$（纯电阻）。这个“谐振长度”会因线径和周围环境而略有变化，所以最终通常需要通过仿真来确定。
方向性1.64（2.15dBi）的物理意义
2.15dBi这个值在天线规格书里经常看到，它具体表示什么？
方向性 $D$ 是“最大辐射方向的辐射强度”除以“向所有方向均匀辐射时的辐射强度”：
半波偶极子 $D = 1.643$。用dB表示：
也就是说“与各向同性天线相比，在最强的方向上大约强64%”。即使输入完全相同的功率，由于能量集中在甜甜圈的赤道方向，只有那个方向会更强。八木天线（电视天线）的增益能达到10dBi或12dBi，就是因为以偶极子为基础进一步收窄了波束。
dBi中的“i”是isotropic（各向同性）的“i”吧。也看到过dBd的表示法？
dBd是以半波偶极子为基准的增益。也就是说 $0\,\mathrm{dBd} = 2.15\,\mathrm{dBi}$。业余无线电领域常用dBd，但学术论文或CAE中dBi是标准。记住转换公式 $G_{\mathrm{dBi}} = G_{\mathrm{dBd}} + 2.15$ 就行。
赫兹的实验（1888年）——最初的“天线”就是偶极子
1888年，海因里希·赫兹使用两根金属棒（正是偶极子）首次成功实现了电磁波的发送与接收。这是一个简单的实验：通过火花放电激励高频振荡，观测数米外接收偶极子上感应的火花，但它首次实证了麦克斯韦的理论预言，是历史性的一刻。波长大约66cm，相当于现在的450MHz频段。赫兹曾否定这一发现的实用价值，但大约10年后，马可尼将其应用于无线通信，改变了世界。
偶极子天线主要参数汇总
| 参数 | 半波偶极子 | 微小偶极子（$l \ll \lambda$） |
|---|---|---|
| 辐射电阻 | $73.1\,\Omega$ | $80\pi^2(l/\lambda)^2\,\Omega$ |
| 输入阻抗 | $73 + j42.5\,\Omega$ | $R_{rad} - jX$（容性） |
| 方向性 | $1.643$（$2.15\,\mathrm{dBi}$） | $1.5$（$1.76\,\mathrm{dBi}$） |
| 辐射方向图 | $\frac{\cos(\frac{\pi}{2}\cos\theta)}{\sin\theta}$ | $\sin\theta$ |
| 有效长度 | $\lambda/\pi \approx 0.318\lambda$ | $l/2$ |
| 带宽（VSWR<2） | 约8〜10% | 非常窄 |
73Ω辐射电阻的推导过程（详细）
具体展示远场电场在全球面积分的过程。半波偶极子的远场电场：
辐射功率密度（时间平均坡印廷矢量）：
全球面积分（$dA = r^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$）：
数值积分得 $\int_0^{\pi}\frac{\cos^2(\frac{\pi}{2}\cos\theta)}{\sin\theta}d\theta \approx 1.2188$（可用Cin函数表示）。代入 $\eta_0 = 120\pi$ 整理得 $R_{rad} \approx 73.1\,\Omega$。
数值解法与实现
数值方法详情
具体是用什么算法来求解偶极子天线的呢？
我明白前辈说的“至少要把偶极子天线搞明白”的意思了。
离散化公式化
使用形状函数 $N_i$ 近似未知量：
用公式表示就是这样。
基础方程的离散形式
用公式表示就是这样。
嗯… 只看公式不太明白… 这表示的是什么？
将连续体的控制方程离散化，得到以下代数方程组：
这里 $[K]$ 是总体刚度矩阵（或等效的系统矩阵），$\{u\}$ 是未知节点变量向量，$\{F\}$ 是外力向量。
啊，原来如此！连续体的控制方程原来是这样的机制啊。
单元技术
“单元技术”这个词倒是听说过，但可能没有真正理解…
| 单元类型 | 阶次 | 节点数(3D) | 精度 | 计算成本 |
|---|---|---|---|---|
| 四面体一次 | 线性 | 4 | 低（剪切锁定） | 低 |
| 四面体二次 | 二次 | 10 | 高 | 中 |
| 六面体一次 | 线性 | 8 | 中 | 中 |
| 六面体二次 | 二次 | 20 | 非常高 | 高 |
| 棱柱 | 线性/二次 | 6/15 | 中〜高 | 中 |
积分方案
积分方案具体是指什么？
听到这里，我终于明白单元类型为什么重要了！
收敛性与稳定性
如果不收敛了，首先应该检查什么？
- h-细化: 细化网格（减小单元尺寸 h）以提高精度
- p-细化: 提高单元多项式阶次以提高精度
- hp-细化: 同时优化 h 和 p
なった
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