热力学基础 — 热力学法则·熵·热循环到CAE热分析
热力学是什么 — 与CAE的关联
热力学是研究"能量转换与传递规律"的学科。为什么发动机能运转，为什么冰箱能冷却，喷气发动机的效率上限在哪里，都由热力学基础理论来决定。对于CAE工程师来说，特别是在压缩性流体分析、燃烧分析、制冷循环设计时，这是必不可少的知识。
提到热力学就觉得教科书式很难接近，热分析（传热）和热力学有什么区别？ 不是同一回事吗？
简单说，热力学处理"状态量的变化"，传热学处理"这种变化如何发生的过程"。以发动机为例，热力学决定燃料燃烧可以转换为多少焦耳功的上限；传热学计算这些热通过活塞和汽缸壁传递的分布。CAE中两者都需要，特别是燃气轮机和内燃机的模拟是不可分割的。
对了，"系·边界·外界"这些词经常出现。这是什么意思？
作为分析对象而关注的区域称为系（System），周围称为外界（Surroundings），系与外界的分界面是边界（Boundary）。如果以发动机汽缸内的气体为系，活塞和汽缸壁是边界，大气和冷却水是外界。热量和功通过边界交换。系有3种：与外界无任何交换的"孤立系"，仅交换能量的"闭合系（Closed System）"，交换能量和物质的"开放系（Open System）"。CAE中的发动机·涡轮基本上都是开放系。
1.1 热力学 vs 传热学的区别
| 观点 | 热力学 | 传热学 |
|---|---|---|
| 处理对象 | 状态量（温度·压力·焓） | 过程（传导·对流·辐射） |
| 时间 | 初态→末态（过程细节无关） | 时间相关的温度分布 |
| 代表性问题 | 这个发动机的理论效率是多少？ | 散热器表面温度是多少℃？ |
| CAE应用 | 压缩性CFD·燃烧·制冷循环设计 | 热应力·电子冷却·铸造工艺 |
1.2 强度性变量 vs 广延性变量
热力学中有两类状态量：
- 强度性变量（Intensive）：与系的大小无关的量。温度 $T$、压力 $p$、密度 $\rho$、比熵 $s$。两个系合并后该值不变（1升水与2升水混合温度不变）。
- 广延性变量（Extensive）：与系的大小成正比的量。体积 $V$、内部能量 $U$、熵 $S$。两个系合并后该值加倍。
CAE中常用比（单位质量）来处理，如比内部能量 $u = U/m$、比焓 $h = H/m$ 等。
热力学第0·第1法则
2.1 第0法则与温度的定义
第0法则说"如果A与B热平衡，B与C热平衡，则A与C也热平衡"。看似显而易见，但正因为有第0法则，"温度计"的概念才能成立。温度是"用来区分热平衡状态的状态量"而被定义。
2.2 第1法则：能量守恒
对于闭合系（固定质量）的第1法则为：
其中 $U$ 是内部能量，$Q$ 是流入系的热量，$W$ 是系对外做的功。符号约定在不同教科书中有差异，需要注意（$W = \int p\,dV$ 以外界做功为正是工程标准）。
焓（Enthalpy）经常出现，它和内部能量有什么不同？
焓 $H = U + pV$ 对"有流动的系"很方便。气体进入管道时，不仅带入内能 $U$，后面气体还对其做功 $pV$。因此流体带入的"总能量"用 $H$ 表示很自然。燃气轮机喷嘴设计中，"进口焓与出口焓的差＝流动功"就是这样用的。制冷系统设计中也通过 $h$ 的差计算制冷能力和压缩功。
2.3 开放系（稳定流动）的能量平衡
流体机械（泵、涡轮、压缩机、喷嘴）采用开放系第1法则：
其中 $\dot{W}_s$ 是轴功（涡轮提取的功等），$h$ 是比焓，$V$ 是流速，$z$ 是高度。在实际工程问题中常可以忽略动能和重力势能项。
2.4 比热与 $\gamma = c_p/c_v$
定压比热 $c_p$ 与定容比热 $c_v$ 的比值 $\gamma$（比热比）在压缩性流体分析中极其重要：
- 理想气体中 $c_p - c_v = R_s$（比气体常数）
- 空气中 $\gamma \approx 1.4$（常温）
- 绝热过程指数：$pV^\gamma = \text{常数}$
- 音速：$c_0 = \sqrt{\gamma R_s T}$
例如航空发动机计算中，高温下 $\gamma$ 的温度依赖性（高温时 $\gamma$ 变小）被忽略会在效率计算中产生数个百分点的误差。实际设计中通过多项式近似或JANAF表来引入温度依赖性。
热力学第2法则与熵
熵经常被解释为"无序度"，但总是有些不清楚。工程中怎样使用熵？
工程上把熵当作"不可逆性的指标"最好理解。摩擦产生热、有限温差处热传递、气体膨胀混合，这些现象都是不可逆的。每当这些发生时，宇宙总熵增加。设计压缩机时看"等熵效率"是多少百分比，即实际功耗相对于理想绝热压缩（熵变为零）浪费了多少百分比。熵增加的部分就是"可用能"损失。
3.1 熵的定义
这是系在可逆过程中吸收的微小热量 $\delta Q_\text{rev}$ 除以温度 $T$。在不可逆过程中总有熵生成。
3.2 Clausius不等式
可逆循环（如卡诺循环）时等号成立。实际机械中总是 $<0$。这是第2法则的数学表达之一。
3.3 熵生成（不可逆性的源头）
主要的熵生成原因：
| 不可逆性源头 | 实例 | 对策 |
|---|---|---|
| 摩擦（粘性耗散） | 管道内压力损失 | 降低表面粗糙度·优化流道 |
| 有限温差热传递 | 热交换器温度偏离 | 增加传热面积·逆流布置 |
| 非平衡混合 | 阀门节流·突扩管 | 分级减压 |
| 化学反应 | 燃烧·腐蚀 | 反应路径控制 |
3.4 压缩机的等熵效率
实务中常用的压缩机绝热（等熵）效率：
$h_{2s}$ 是等熵过程的出口焓，$h_2$ 是实际出口焓。市售工业用压缩机的 $\eta_c = 0.75 \sim 0.90$。剩余部分都因摩擦等作为熵生成而损失。
理想气体与状态方程
4.1 理想气体的状态方程
其中 $n$ 是摩尔数，$R = 8.314\,\text{J/(mol·K)}$ 是通用气体常数，$R_s = R/M$ 是比气体常数（$M$ 是分子量）。空气（平均分子量 $M \approx 28.97$）时 $R_s \approx 287\,\text{J/(kg·K)}$。
实际CFD中也用理想气体吗？ 高压·高温下误差会不会很大…
航空发动机或汽车排气系统程度的压力和温度用理想气体就够精确了。问题出现在超临界状态（液化天然气运输或超临界CO₂循环）或高密度气体（超高压氢气罐）。这些情况下要用van der Waals方程或Peng-Robinson方程等实在气体状态方程。Ansys Fluent和OpenFOAM都有实在气体选项。大多数工业气体流动模拟是先从理想气体开始，偏差大再切换到实在气体，这是实务流程。
4.2 实在气体（van der Waals方程）
$a$ 表示分子间引力（压力修正），$b$ 表示分子有限体积（体积修正）。
4.3 各种准静态过程
| 过程 | 条件 | $W = \int p\,dV$ | $\Delta U$、$Q$ |
|---|---|---|---|
| 等温（Isothermal） | $T = \text{常数}$ | $nRT\ln(V_2/V_1)$ | $\Delta U = 0$、$Q = W$ |
| 等压（Isobaric） | $p = \text{常数}$ | $p(V_2 - V_1)$ | $Q = \Delta H = mc_p\Delta T$ |
| 等容（Isochoric） | $V = \text{常数}$ | $0$ | $Q = \Delta U = mc_v\Delta T$ |
| 绝热（Adiabatic） | $Q = 0$ | $-\Delta U$ | $pV^\gamma = \text{常数}$ |
| 多方过程 | $pV^n = \text{常数}$ | $\frac{p_1V_1 - p_2V_2}{n-1}$ | $n$ 由实测确定 |
多方过程在实际发动机循环建模时很有用，$n = 1$ 对应等温，$n = \gamma$ 对应绝热，$1 < n < \gamma$ 对应有热损失的现实压缩过程。
热力学循环
卡诺循环被说是"理想循环"，为什么它效率最高？ 我想直观地理解。
从第2法则可以直接推导出来，但直观地说是这样的。热机从高温热源吸热，把部分转为功，剩余交给低温热源。当熵变化为零（可逆过程）时最高效率地转为功。卡诺循环由等温过程和绝热过程组成，是唯一能不产生熵而运转的循环。"要提高效率就得升高高温端温度或降低低温端温度"，这也是第2法则的重要启示。喷气发动机追求1700℃以上高温燃烧的原因就在这里。
5.1 卡诺循环
$T_H$ 是高温热源（K），$T_L$ 是低温热源（K）。例如 $T_H = 1200\,\text{K}$、$T_L = 300\,\text{K}$ 时 $\eta_\text{Carnot} = 75\%$。实际发动机效率仅为其一半左右。
5.2 奥托循环（汽油发动机）
假定急速燃烧为等容燃烧的理想循环：
$r_c = V_1/V_2$ 是压缩比（通常 $r_c = 8 \sim 12$）。当 $r_c = 10$、$\gamma = 1.4$ 时 $\eta \approx 60\%$。实际市售发动机因摩擦·热损失·不完全燃烧等，效率约 $25 \sim 35\%$。
5.3 柴油循环
$r_\alpha = V_3/V_2$ 是截断比（Cutoff ratio）。柴油的压缩比（$r_c = 14 \sim 22$）比汽油高，理论效率也更高。大型卡车和船舶发动机热效率高的原因在此。
5.4 布拉顿循环（燃气轮机）
航空发动机和发电用燃气轮机的基础循环。等压燃烧与绝热压缩·膨胀组成：
$r_p = p_2/p_1$ 是压力比，$T_1$ 是压缩前温度，$T_2$ 是绝热压缩后温度。
航空发动机设计中听说"压力比提高就效率提高"，那无限提高不就行了？
说得对。提高压力比理论效率确实上升。但现实中压缩机出口温度也跟着上升，保持涡轮进口温度（TIT）一定时，燃烧热输入反而要减少，输出功率就下降了。另外压缩机·涡轮的等熵效率也会下降。存在实用的最优压力比，最新民用航空发动机（GEnx、Trent XWB）的压力比已经达到40~50。最近还有研究在改良型布拉顿循环中加入中间冷却（Intercooling）或回热（Recuperation），目标是突破50%的热效率。
5.5 $p$-$V$ 图与 $T$-$s$ 图
$p$-$V$ 图循环围成的面积 $=$ 净功 $W_\text{net}$。$T$-$s$ 图循环围成的面积 $=$ 净功 $W_\text{net}$（相等）。$T$-$s$ 图特别便于直观把握不可逆性的大小，将实际损失（面积变形）与理想循环对比。
火用与可用能
6.1 火用（Exergy）的定义
火用（可用能）是指"以环境状态（基准状态 $T_0, p_0$）为出发点，从系中最多能提取的功"：
对于有流动的系（稳定流动）采用流动火用：
6.2 火用损失与不可逆性
Gouy-Stodola定理：火用损失 $= T_0 \cdot \dot{S}_\text{gen}$
即熵生成存在就=可用功损失。通过火用分析可以定量特定系统中"高质量能"在哪里被浪费。
火用分析在实务中哪里用？
最多的是热交换器和压缩机·涡轮系统的评估。比如废热回收系统，用第1法则（能量平衡）评估时低温废热的能量值看起来和高温废热一样。但用火用看，低温废热转为可用功的效率低得多。所以"高温废热优先利用""低温废热用于低温用途"的设计优先顺序就通过火用分析变得清晰。最近在氢能厂房和复合循环发电厂（GTCC）的最优设计中火用分析已成必备。
相变与热力学
7.1 Clausius-Clapeyron方程
蒸汽压曲线（气液相界线）的斜率公式：
$L$ 是潜热，$v_g, v_l$ 分别是气体·液体的比体积。以水为例，$L_\text{water} \approx 2257\,\text{kJ/kg}$（100°C）。在高山上大气压低，沸点也下降（富士山顶约87°C）。这个方程用于冷媒选定·沸腾冷却设计·相变材料（PCM）的CAE建模。
7.2 临界点与超临界流体
水的临界点为 $T_c = 647.1\,\text{K}$、$p_c = 22.1\,\text{MPa}$。在超临界状态（临界点以上），液体与气体的区别消失，呈现密度如液体、粘度如气体的特殊流体状态。超临界CO₂循环在下一代核电与太阳能发电中受关注。
7.3 湿空气线图（Psychrometric Chart）
湿空气的状态量（干球温度·湿球温度·相对湿度·比焓·绝对湿度）的关系用线图表示。空调系统和除湿过程的CAE分析中沿该线图追踪湿空气的状态变化。Fluent的Mixture模型做湿空气分析时，这些热力学关系被编入气液间的质量交换模型。
CAE热流体分析的关联
8.1 压缩性CFD中的完全能量方程
压缩性流动数值分析中，除连续方程、动量方程外，还需联立能量方程：
$E = e + |\mathbf{u}|^2/2$ 是单位体积全能量（内部能量+动能），$\kappa$ 是热传导率，$\boldsymbol{\tau}$ 是粘性应力张量，$\dot{q}$ 是体积热源（燃烧等）。
8.2 热力学性质的温度依赖性
Sutherland粘性式（气体）：
空气中 $\mu_0 = 1.716 \times 10^{-5}\,\text{Pa·s}$、$T_0 = 273.15\,\text{K}$、$S = 110.4\,\text{K}$。Ansys Fluent、OpenFOAM默认设定即可用。
8.3 燃烧分析的耦合
燃烧CFD中化学反应的发热成为能量方程的源项 $\dot{q}$：
$h_k^0$ 是化学种 $k$ 的标准生成焓（热力学数据），$\dot{\omega}_k$ 是反应速率，$M_k$ 是分子量。从JANAF数据库取各化学种的 $c_p(T)$、$h^0$、$s^0$ 后使用。
Fluent做燃烧分析时"Species Transport"、"Eddy Dissipation"这么多模型，选哪个啊…
燃烧模型选择确实复杂。首先"想看什么"来决定。粗略看喷口温度分布用Eddy Dissipation Model（EDM）简单易用。但需要NOx生成量或火焰结构细节就要Flamelet/Progress Variable（FPV）或反应速率基础模型。热力学上所有模型都共同用JANAF表或NASA多项式给各化学种供 $h_k^0(T)$ 和 $c_{p,k}(T)$。实务上先用EDM验证能量平衡后再逐步精化，这是行业做法。
相关交互式工具
动手验证理论
- 热扩散模拟器 — 一维热扩散方程的动画模拟（FTCS显式格式）
- 翅片效率·温度分布工具 — 矩形翅片效率与温度曲线实时计算
- 集中参数法工具 — Bi数确认 → 冷却/加热曲线动画
- 多层壁面热阻工具 — 各层厚度·热导率 → 温度分布·U值计算
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