热转移基础 — 传导·对流·辐射到CAE热分析
热转移的三种形态和支配机制
热（能量）必然从高温向低温转移。这种转移路径有三种根本上不同的机制。要正确设置CAE热分析，需要首先判断目标问题中哪种机制是支配的。
老师，我要做电子设备的热分析，应该考虑哪种热转移模式？需要全部加上吗？
如果是基板上的IC冷却，首先传导（半导体→封装→基板）和对流（基板表面→冷却空气）是主导的。辐射通常只占5～10%以下，除非温度差超过100℃这样的高温情况下，初期可以忽略。但在炉内加热部件或真空中的航天器等特殊情况下，辐射才是唯一的热传递方式。问题的温度等级和周围环境决定了"哪一个是主角"。
1.1 热传导（Conduction）— 傅里叶定律
在固体内部或静止流体中，由温度梯度引起的热转移现象：
在一维情况下为 $q = -k \dfrac{dT}{dx}$。其中 $k$ 是热传导率 [W/(m·K)]，负号表示"热从高温向低温流动"。
1.2 对流热转移（Convection）— 牛顿冷却律
其中 $h$ 是热转移系数（对流热转移系数） [W/(m²·K)]。$h$ 不是材料常数，而是依赖于流动状态（层流/湍流）、形状、流速的"现象系数"。
1.3 辐射热转移（Radiation）— 斯特凡-玻尔兹曼定律
其中 $\varepsilon$ 是发射率（emissivity，黑体=1），$\sigma = 5.670 \times 10^{-8}$ W/(m²·K⁴) 是斯特凡-玻尔兹曼常数。温度的四次方依赖性是其特征，温度越高热流越急剧增大。
两面间的净辐射热流：
1.4 支配热转移模式的判断方法
| 情况 | 主要热转移模式 | 典型的 h 或 q |
|---|---|---|
| 固体内部（钢） | 传导 | k = 50 W/(m·K) |
| 空气自然对流（竖直面） | 对流 | h = 5～25 W/(m²·K) |
| 空气强制对流（风速5 m/s） | 对流 | h = 25～250 W/(m²·K) |
| 水强制对流 | 对流 | h = 500～10,000 W/(m²·K) |
| 水沸腾（核沸腾） | 对流+相变 | h = 5,000～100,000 W/(m²·K) |
| 真空中（航天器） | 仅辐射 | T依赖（T⁴律） |
| 工业炉（1000℃） | 辐射主导 | q ～ 100 kW/m² |
热传导方程和边界条件
2.1 三维非定常热传导方程
具有内部发热 $\dot{q}$ [W/m³] 的一般热传导方程：
对于等向均质材料（$k$ = 常数）：
其中 $\alpha$ [m²/s] 是热扩散率（thermal diffusivity），表示热在物质中扩散的速度。
热传导方程是扩散方程对吧。铝和钢的热扩散速度差多少？
铝的热扩散率约为$8.4 \times 10^{-5}$ m²/s，碳钢约为$1.2 \times 10^{-5}$ m²/s，所以铝的热扩散速度是钢的约7倍。这就是为什么电子设备的散热片采用铝或铜（$\alpha \approx 1.1 \times 10^{-4}$ m²/s）。相比之下，玻璃棉隔热材的$\alpha \approx 3.6 \times 10^{-7}$ m²/s极低，热几乎不传导。
2.2 三种边界条件
| 类型 | 数学表达式 | 物理意义 | 适用例 |
|---|---|---|---|
| 第一类（迪利克雷） | $T = T_\text{prescribed}$ on $\Gamma_1$ | 指定边界面温度 | 沸腾面（$T = T_\text{sat}$）、对称面 |
| 第二类（诺伊曼） | $-k\dfrac{\partial T}{\partial n} = q_s$ on $\Gamma_2$ | 指定热流 | 电热器（均匀发热）、绝热面（$q_s=0$） |
| 第三类（罗宾） | $-k\dfrac{\partial T}{\partial n} = h(T - T_\infty)$ on $\Gamma_3$ | 对流边界条件 | 空冷翅片面、水冷夹套 |
2.3 定常分析 vs 非定常分析
定常分析（$\partial T / \partial t = 0$）变为拉普拉斯/泊松方程：
需要非定常分析的情况：电子设备启动过渡特性、发动机冷却循环、焊接、铸造工艺仿真。
对流热转移的详细说明
对流的热转移系数h怎么求？用CFD分析自动就能得到吗？
用CFD包含流体一起分析的话h就会自动计算。但计算成本很高。实务中，当形状和流动比较简单时，常用相关式（努塞尔数相关）来估算h，然后只做热分析的"解耦方法"。作为工程师必须理解这些相关式的出处和适用范围。
3.1 重要的无量纲数
| 无量纲数 | 定义 | 物理意义 | 参考值 |
|---|---|---|---|
| 雷诺数 Re | $Re = \rho U L / \mu$ | 惯性力 / 粘性力 | 圆管 Re > 2300 时湍流转折 |
| 普兰特尔数 Pr | $Pr = \mu c_p / k = \nu / \alpha$ | 动量扩散 / 热扩散 | 空气≈0.7, 水≈7, 油≈100-1000 |
| 努塞尔数 Nu | $Nu = hL / k_f$ | 对流 / 传导的比 | 越大对流热转移越支配 |
| 格拉夫数 Gr | $Gr = g\beta \Delta T L^3 / \nu^2$ | 浮力 / 粘性力² | 自然对流强度指标 |
| 瑞利数 Ra | $Ra = Gr \cdot Pr$ | 浮力 / 热扩散 | $Ra > 10^9$ 时湍流自然对流 |
| 比奥数 Bi | $Bi = hL / k_s$ | 对流阻力 / 传导阻力 | Bi < 0.1：集中参数法有效 |
| 傅里叶数 Fo | $Fo = \alpha t / L^2$ | 无量纲时间 | 非定常分析的时间标度 |
3.2 强制对流的相关式
平板表面强制对流（Churchill-Ozoe式）:
圆管内强制湍流对流（Dittus-Boelert式）:
适用范围：$0.6 \leq Pr \leq 160$, $Re_D > 10{,}000$, $L/D > 10$
圆管内强制对流（Gnielinski式，更广范围）:
适用范围：$0.5 \leq Pr \leq 2000$, $3{,}000 \leq Re_D \leq 5 \times 10^6$
3.3 自然对流的相关式
竖直平板（Churchill-Chu式）:
相关式有很多种，不知道该用哪一个。Churchill-Chus式这样的有没有使用区别的要点？
首先确认几何形状。是平板还是圆筒，水平还是竖直，内表面还是外表面——这样就能缩小候选式。其次确认流动情况（Re、Ra）在式子的适用范围内。不确定时可以用几个式子算，如果结果在±30%以内就可以任选。超过±30%就需要详细文献或实验值。实务中Incropera & DeWitt的教科书是相关式的宝库。
3.4 沸腾、凝聚热转移
伴有相变的热转移中热转移系数会大幅增加。
核沸腾（Rohsenow式）:
其中 $C_{s,f}$ 是表面-流体组合的实验常数。
辐射热转移
4.1 黑体、灰体、实在表面
| 表面模型 | 特点 | 发射率 ε |
|---|---|---|
| 黑体 | 完全辐射体、吸收体（理想） | ε = 1 |
| 灰体 | 发射率与波长无关（工程近似） | 0 < ε < 1 = 常数 |
| 实在表面 | 发射率与波长、温度相关 | ε(λ,T) |
主要材料的发射率（参考值）：
| 材料 | 状态 | 发射率 ε |
|---|---|---|
| 铝 | 光泽抛光面 | 0.04～0.06 |
| 铝 | 阳极氧化 | 0.8～0.9 |
| 钢 | 抛光面 | 0.07～0.17 |
| 钢 | 氧化面（黑皮） | 0.80～0.95 |
| 铜 | 抛光面 | 0.03～0.05 |
| 涂料（黑色） | — | 0.95～0.98 |
| 混凝土 | — | 0.85～0.95 |
铝的光泽面和阳极氧化发射率差这么大！FEM里设置错了可不行...
正是这点是实务的陷阱。航天器热设计中，"光泽铝（ε=0.05）"和"黑色涂料（ε=0.95）"设置错了，辐射热量会相差接近20倍。电子设备中散热器的表面处理也会大幅改变辐射冷却的贡献率。CAE材料数据库的数值不能盲目相信，必须确认实际零件的表面状态。
4.2 视图系数（形状系数）
从面 $i$ 出射的辐射到达面 $j$ 的比例：
重要性质：
- 互易性: $A_i F_{ij} = A_j F_{ji}$
- 总和: $\sum_{j=1}^N F_{ij} = 1$（围壳中）
- 自视图系数: 平面、凸面上 $F_{ii} = 0$
两个无限平行平板（等面积）的情况：$F_{12} = 1$
两个同轴圆盘（半径 $r_1, r_2$、间隔 $h$）的 $F_{12}$：
FEM热分析
5.1 弱形式转换
热传导方程的弱形式（虚温度 $\delta T$ 的加权残差法）：
5.2 有限元离散化
用节点温度向量 $\mathbf{T}$ 的矩阵形式：
各矩阵的定义：
5.3 时间积分方案的比较
用θ-法（广义梯形法）的时间积分：
| θ 值 | 方案名称 | 稳定性 | 精度阶数 | 特点 |
|---|---|---|---|---|
| θ = 0 | 前进差分（显式法） | 条件稳定 | 一阶 | 需要 $\Delta t \leq \rho c_p \Delta x^2 / (2k)$ |
| θ = 1/2 | Crank-Nicolson | 无条件稳定 | 二阶 | 精度高但注意数值振荡 |
| θ = 1 | 后退差分（隐式法） | 无条件稳定 | 一阶 | 最稳定、实务广泛使用 |
5.4 潜热处理（相变问题）
融熔、凝固伴有的问题中，相变温度 $T_m$ 附近比热急剧变化。焓法用等效比热 $c_p^*$ 处理：
其中 $L$ 是潜热，$\delta_T$ 是数值平滑宽度（相变温度带的宽度）。
焊接分析要做融熔、凝固的处理，听说很难。能算到什么精度？
焊接热分析存在很多难点。融熔池形状、大小（焊缝宽度、熔深）通常只能达到±20%左右的精度。需要用实验焊缝截面来校准热源模型（高斯二重椭球体模型等）的参数。另外，焊接后的残余应力分布需要热分析→结构分析的顺序计算热弹塑性分析，计算成本很高。Sysweld和Marc是有实绩的求解器。
实务热分析的技巧
6.1 电子设备冷却 — 结温推定
半导体器件的最大允许结温（T_j,max）是最重要的设计目标。
热阻网络（串联）的结温上升估算：
其中：
- $P$：器件消耗功率 [W]
- $R_{\theta,jc}$：结-壳间热阻 [K/W]（数据手册给出）
- $R_{\theta,cs}$：壳-散热器间热阻（含TIM）[K/W]
- $R_{\theta,sa}$：散热器-环境间热阻 [K/W]
FEM热分析建模要点：
- TIM（热界面材料）的热阻再薄也不能忽视。厚0.1mm、k=3 W/(m·K)时 $R_{\theta,cs} \approx 0.033/A$ [K/W]
- PCB基板面内热导率和厚度方向热导率差异大（FR4基板：面内≈0.8 W/(m·K)、厚度方向≈0.3 W/(m·K)）
- 芯片堆叠封装中层间热路径建模是精度关键
6.2 发动机部件的热应力耦合
发动机排气系（排气歧管）等高温部件设计中，"热分析→结构分析"的顺序耦合（顺序耦合）是标准方法：
- 热分析计算定常/瞬态温度分布
- 温度分布读入结构分析作为热荷载
- 计算热膨胀应力场：$\varepsilon_\text{thermal} = \alpha_\text{CTE} \Delta T$
热应力大小估算（钢的情况）：
温度差100℃就产生250 MPa的热应力——接近钢的屈服应力。
6.3 隔热材和热阻建模
多层壁一维定常分析的热阻模型：
其中 $U = 1/(R_\text{total} \cdot A)$ 是总体热转移系数 [W/(m²·K)]。
常见错误和对策
| 症状 | 原因 | 对策 |
|---|---|---|
| 定常分析结果不合理偏高 | 漏设对流边界条件 | 列出全部表面边界条件清单并核对 |
| 非定常分析出现数值振荡 | 时间步长过大（显式法）或Δt/Fo不当 | 改用θ=1（后退差分），或减小Δt |
| 对流h值过大或过小 | 相关式超出适用范围或流动状态认识错 | 手工计算Re、Ra验证，选择恰当相关式 |
| 辐射本应忽视但结果偏大 | 发射率ε设置过高（抛光面误设为涂装面） | 确认实际表面加工状态 |
| 忽视接触热阻（TCR） | 接合面接触热阻因面压、粗糙度而被漏掉 | 在接合面设置TIM模型或接触热阻 |
| 忽视热导率的各向异性 | CFRP、PCB基板的面内/厚度方向差异 | 设置为正交异向材料：k₁, k₂, k₃分别设置 |
热分析比结构分析更难的感觉。边界条件设置容易出错...
确实。结构分析的边界条件比较清晰——"这里固定"、"这里施加荷载P"。热分析的"对流h多少"、"发射率哪个值"物理上本身就有不确定性。所以实务中必须做"与手工计算或实验值在±20%以内一致"的验证。先用简单基准问题（比如翅片效率的解析解对比）验证模型，再进行实际分析。这个习惯很重要。
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