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烧开水的时候，有时能看到锅底有打转的流动，那就是对流单元吗？
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对，正是！正式名称叫“瑞利–贝纳尔对流”。加热底面时，底部流体变暖、密度下降，在浮力作用下上升。顶面较冷，在那里冷却的流体下降。这种循环形成规则的“涡卷状对流单元”。法国物理学家贝纳尔在 1900 年用鲸油做实验首次观察到这一现象，瑞利勋爵在 1916 年建立了理论。
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可是只稍微加热一下，有时也不会发生对流吧？条件是什么？
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很敏锐！这就是瑞利数（Ra）的问题。Ra 是“浮力引起的失稳”与“粘性＋热扩散带来的稳定”之比。Ra 超过约 1708 的临界值，对流才开始发生。低于这个值，想要上升的流体也胜不过粘性和热扩散，热量只是通过热传导向上散失。在模拟器中选择“略低于临界”预设（Ra < 1708），应该能看到对流单元消失，只剩均匀的温度梯度。
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超过 Ra 之后，为什么会形成“单元”这种特定的图案？不会随机混合吗？
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这正是有趣的地方！失稳开始时，各种空间尺度的扰动都想稍微增长一点。但存在一个增长最快的“最优波长”——大约是层厚的 2～3 倍——只有它被选中并保留下来。这就是“图案形成”的自组织。继续提高 Ra，最初整齐的涡卷会崩溃，多种尺度的运动混在一起，最终变成湍流。气象中的积云对流和地球的地幔对流也是同样的原理。
瑞利数（无量纲参数）：
$$Ra = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu\,\kappa}$$
$g$：重力加速度，$\beta$：热膨胀系数，$\Delta T$：上下表面温差，$L$：层高，$\nu$：运动粘度，$\kappa$：热扩散率
温度场的对流–扩散方程（布辛涅斯克近似）：
$$\frac{\partial T}{\partial t}+ \vec{u}\cdot\nabla T = \kappa\,\nabla^2 T$$
速度场（简化流函数法）：
$$\vec{u}\propto Ra \cdot (T - T_{\text{mean}}) \cdot \hat{y}+ \text{粘性扩散}$$
边界条件：顶面 $T=0$（冷），底面 $T=1$（热），侧面为周期边界。
瑞利–贝纳尔对流是最基本的流体不稳定现象之一，出现在许多领域：
气象·大气：积云（雷雨云）的发展、积雨云内强烈的上升气流，都是这种对流的大尺度版本。
地球内部：地球地幔的对流（板块构造的驱动力）是时间尺度为数百万年的瑞利–贝纳尔对流。
电子冷却·热设计：在散热器风冷和数据中心冷却设计中，理解贝纳尔对流也是不可缺少的。
宇宙：太阳表面的“米粒组织”是太阳大气中的对流单元，形成直径约 1000 km 的规则图案。
常见误解与注意事项
刚开始使用这个模拟器时，有几个容易出错的地方要注意。首先，人们容易以为“瑞利数越大，对流总是越剧烈”，但没那么简单。超过临界值（约 1708）后对流确实开始了，但继续提高 Ra，整齐的涡卷图案会经历涡卷变形、分裂的“二次失稳”阶段，最终达到湍流。例如把 Ra 从 10⁴ 提高到 10⁵，可以观察到涡卷不再定常、随时间开始波动。这是“暂态混沌”的入口，一下子把参数调得太高会错过基本图案的转变，因此诀窍是一点一点地改变。
其次，不要轻视长宽比（宽/高）的设置。例如长宽比为 2（宽是高的 2 倍）时，自然会并排出现 2 个对流涡卷，但如果设成 3.5 这样不上不下的值，涡卷数不是整数，容易产生不稳定的图案。自然界和实际设备中层的“宽度”往往是确定的，因此要意识到，在模拟中改变长宽比，实际上等于“改变实验装置或观测区域的大小”。
最后，本模拟以“二维”和“布辛涅斯克近似”为前提，这一点不要忘记。在三维中可能出现六边形的贝纳尔单元而不是涡卷；温差极大或气体的可压缩性不能忽略时，这一近似也不成立。请把它理解为学习基本原理的理想化模型。
瑞利数低于临界值（约 1708）时，热传导占主导，不发生对流。用滑块把 Ra 设为 2000 以上，等几秒钟单元就会开始出现。另外，初始温度扰动较小时也需要一些时间，请观察一会儿。
采用简化流函数法，以与温差成正比的浮力为驱动力，结合粘性扩散近似计算速度场。虽然不是严格的 NS 方程解法，但能实时再现对流单元形成、发展和向湍流转变的主要行为。
把瑞利数设为 10⁵ 以上，长宽比（宽/高）设为最大值 4，更容易观察到多个单元分裂、合并、在时间上不规则的湍流状态。Ra 超过 50,000 时，状态显示会变为“湍流对流”。
本工具是用于教学和可视化的简化模型。对定性理解实际热对流现象有用，但不能替代定量设计或实验。实际应用请使用求解完整纳维–斯托克斯方程的专用 CAE 软件。
努塞尔数 Nu 表示对流传热的强度：Ra < 1708 时 Nu=1（纯热传导），Ra 超过临界值后按幂律 Nu ≈ 0.069 Ra^{1/3} 增大。在本模拟器中逐步提高 Ra，可以直观看到温度等值线变成多个单元结构、有效热输运增大的过程。
地幔对流的瑞利数非常大，Ra ≈ 10⁷～10⁸，是板块构造的驱动力。在本模拟器中把 Ra 设为最大值会出现非定常的复杂单元结构，这与地幔中在长时间尺度上发生的情形相近。但实际地幔的粘度强烈依赖于深度和温度，因此只是定性上的相似。
理论上，在二维容器中 Ra 接近临界值时，宽度与高度大致相等的单元（长宽比≈1 的单元）最稳定。长宽比大的容器中会并排出现多个单元，其个数大致等于最接近 宽/高 的整数。在模拟器中把长宽比从 1→2→4 增大，可以观察到 1→2→4 个涡卷状单元并排出现。
是的。Pr 是动量扩散与热扩散之比（Pr＝ν/κ）。液态金属（Pr≈0.01）中热量扩散很快，热边界层比速度边界层厚，超过临界值后流动很快就会随时间变化。硅油（Pr≈100～1000）中粘性占主导，单元容易形成稳定、规则的图案（三维中为六边形）。本模拟器假设一般流体（Pr≈1 左右），没有直接改变 Pr 依赖性的功能，但可以用 OpenFOAM 的 buoyantBoussinesqPimpleFoam 进行依赖 Pr 的分析。
工业中的实际应用
在半导体制造的外延生长炉和 CVD 装置中，加热基板上方的气体若产生自然对流，会破坏温度和膜厚的均匀性，因此以瑞利数为参考研究装置的尺寸和压力条件。在液晶面板用玻璃基板的热处理工序中，它也是寻找抑制对流单元产生的条件的基础。
研究与教学中的应用
在大学的流体力学和热工学课程中，它被用作改变 Ra 可视化对流图案转变的题材。观察从贝纳尔单元形成到湍流的过程，可以直观理解无量纲数与流动结构的关系。在地球物理学中，有时也会与地幔对流的类比实验结合起来考虑。
与 CAE 分析的联系及实务定位
本模拟器是在详细的三维 CFD 分析之前，把握对流发生条件和传热大致趋势的学习工具。设计中一般先改变 Ra 把握趋势，再用 ANSYS Fluent、OpenFOAM 等进行高精度分析详细验证。