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打开有限元法的教科书，立刻就出现"单元刚性矩阵"。它到底是什么东西呢？
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简单地说，就是"用矩阵表示弹簧的硬度"。我们来看最简单的1D杆单元。两端各有一个节点，只在轴向上伸缩。这个单元的硬度由 EA/L 决定，也就是弹性模量×截面积÷长度。你可以把它看作弹簧常数 k。单元刚性矩阵是 [k]=(EA/L)[[1,-1],[-1,1]]，它是连接两个节点的力和位移的"对应表"。
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为什么是2×2的矩阵呢？弹簧常数一个数字就够了啊……
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因为有两个节点。节点1受到的力和节点2受到的力，都会受"节点1的位移"和"节点2的位移"两者的影响。所以需要2行2列。看矩阵的内容，对角线上是 +EA/L，非对角线上是 −EA/L。这表示"自己移动时，自己受到回复力；对方移动时，对方受到相反的拉力"。你调节左边 E、A、L 的滑块，会看到这个 EA/L 的值变化。
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我明白了。但书里也说"这个矩阵是奇异的，没有逆矩阵"，我就卡在这儿了。
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很好的问题。矩阵 [[1,-1],[-1,1]] 的行列式是 1×1−(−1)×(−1)=0。所以没有逆矩阵。从物理角度讲，"单元漂浮在空间里"。即使两个节点同时向右移动相同的距离，单元也不会伸长，也不会产生力——允许刚体运动。所以 {F}=[k]{u} 不能直接对 u 求解。这时候你需要加上"节点1固定在墙上"这样的边界条件。固定掉某些自由度后，矩阵被缩约，终于就有了逆矩阵，可以求解了。左边的构成选择"1单元"时，就是节点1固定的状态。
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把构成改成"2单元串联"后，整体刚性变成了一半。这是怎么回事？
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和弹簧的串联一样。在实际的有限元法中，多个单元的刚性矩阵被按节点编号加到一个大的"整体刚性矩阵"里。这叫做组装。2个相同单元串联时，共享节点的对角项会加上 EA/L 两次，但从自由端看的硬度就变成 k/2。所以自由端的位移翻倍。但轴力在整个截面上保持不变，所以轴应力 σ=F/A 和单元情况一样。实际的结构分析，就是把这个操作做几万倍罢了。
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那也就是说，只要理解了单元刚性矩阵，再大的有限元模型原理也是一样的？
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完全正确。梁单元、四面体单元、壳单元，类型增加了，但"为每个单元作刚性矩阵 → 整体加起来 → 边界条件缩约 → 求解线性方程组 → 从位移算应力"这个流程一点没变。这个1D杆单元就是这个过程最小的样本。如果能用手计算这个，就能看清楚商用求解器背后在干什么。
两端有节点的1D杆（桁架）单元的刚性矩阵是 [k]=(EA/L)[[1,-1],[-1,1]]。E 是弹性模量，A 是截面积，L 是单元长度。EA/L 相当于"弹簧常数"，表示单元在轴向的硬度。矩阵的行和列分别对应节点1、节点2的自由度，用关系式 {F}=[k]{u} 将节点力和节点位移联系起来。本工具通过改变 E、A、L 来计算这个 EA/L。
单个杆单元的刚性矩阵 [k]=(EA/L)[[1,-1],[-1,1]] 行列式为 0，不存在逆矩阵。这是因为单元"浮动"在空间中，允许刚体运动（整体平移）。即使两个节点同时移动相同的距离，单元也不会伸长，也不会产生内力。实际求解时，必须施加至少1个节点的边界条件以固定该节点，然后对刚性矩阵进行缩约，才能消除奇异性。
相同截面的单元串联时，就像弹簧的串联连接，整体刚性会降低。当每个单元的刚性为 k 时，2个相同单元串联的整体刚性为 k/2。本工具的"2单元串联"中，整体刚性是单元刚性的一半，导致自由端的位移是单元情况下的2倍。另一方面，轴力在整个长度上保持不变，因此轴应力 σ=F/A 也保持不变。
如果已知施加在节点上的力 F 和整体刚性 k_tot，则节点位移为 u=F/k_tot。这是求解 {F}=[k]{u} 的结果，在有限元法中对应于求解矩阵线性方程组的过程。轴应力是截面内的轴力除以截面积，即 σ=F/A，应变为 ε=σ/E。对于1D杆单元，轴力沿整个长度保持不变，因此应力也保持不变。
桁架结构分析：桥梁、铁塔、屋顶桁架就是多个1D杆单元的集合体。每条杆件建模为1个杆单元，各单元的刚性矩阵按节点编号相加形成整体刚性矩阵。本工具讨论的 EA/L 和 {F}=[k]{u} 的关系正是实际桁架分析的核心。斜杆只需加上坐标变换，本质完全相同。
有限元法教学·求解器验证：大学有限元法课程必定从这个1D杆单元开始手工计算。刚性矩阵的组装、总体矩阵的组装、边界条件的缩约——这一整套流程在矩阵还很小的时候就要在脑子里学透。商用求解器的用户在验证新的单元类型或分析条件时，也总是先拿这个简单模型确认一下答案。
机械零件的轴向刚性评估：螺栓连接、拉杆、系杆、悬架连杆等受轴向力的零件，可以用1D杆单元快速估算刚性。评估螺栓连接体的刚性分配（螺栓和被连接件的弹簧常数之比）时，EA/L 的弹簧模型可以直接用于设计决策。
多自由度系统·振动分析的基础：刚性矩阵不仅用于静力分析，也是特征值分析（[K]−ω²[M]=0）的出发点。与质量矩阵结合，就可以求出杆的纵向振动的固有频率。正确组装单元刚性矩阵是动分析、屈曲分析、非线性分析的前提条件。
最常见的错误是"直接对单个单元的刚性矩阵求逆来求解"。[k]=(EA/L)[[1,-1],[-1,1]] 的行列式为 0，没有逆矩阵。这不是程序缺陷，而是单元允许刚体运动（整体平移）这一物理特性的正确体现。必须用边界条件固定至少一个节点的自由度，对刚性矩阵进行缩约后才能求解。拘束不足的模型会在求解器中显示"奇异"或"主元为零"的错误。这是拘束不够的信号。
其次，常有人误以为"细分单元就能得到正确的杆内应力"。1D杆单元假定轴力在单元内恒定，所以对于等截面、轴力恒定的问题，1个单元的结果就和精确解一致。反过来说，当问题有分布荷载（如自重）或截面变化时，1个单元不足以表现应力分布，必须网格细化。重点不是"增加单元数就变好"，而是"该单元的假设是否适用于这个问题"。
最后，"单位不一致"也常常造成计算错误。计算 EA/L 时，E、A、L 的单位如果混用（E 用 GPa、A 用 mm²、L 用 mm），数值会出错。本工具内部把 E 转换为 MPa（GPa×1000），A 统一为 mm²，L 统一为 mm，力统一为 N，这样输出的刚性单位就是 N/mm。手工验算时，也必须把单位系统统一。缺省参数（E=200 GPa、A=100 mm²、L=500 mm、F=10 kN）时，单元刚性为 40000 N/mm，自由端位移 0.25 mm，轴应力 100 MPa。这个已知解用来检验计算的正确性。