使用滑块调节信号类型、窗函数和周波数，实时显示时间域、幅度谱和位相谱。直观理解FFT本质。
$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt$$
傅里叶变换：将时间信号 $x(t)$ 变换为频率谱 $X(f)$。
$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df$$
逆傅里叶变换：从频谱 $X(f)$ 恢复时间波形 $x(t)$。
$$|X(f)|^2 \leftrightarrow R_{xx}(\tau)$$
Parseval定理：时间域能量（积分）等于频率域能量。功率谱密度与自相关函数的对偶关系。
本工具的核心是离散傅里叶变换(DFT)，它将离散时间信号 $x[n]$ 变换为离散频率成分 $X[k]$。在计算机上实现时，使用了高速计算DFT的FFT（快速傅里叶变换）算法。
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] \cdot e^{-i 2\pi k n / N}$$$x[n]$: 时间域离散信号（n=0,1,...,N-1）
$X[k]$: 频率域复数频谱（k=0,1,...,N-1）
$N$: 采样点数（本工具中为512）
$e^{-i 2\pi k n / N}$: 复指数信号（由欧拉公式 $\cos - i\sin$ 组成）
窗函数 $w[n]$ 与有限长截取信号 $x[n]$ 相乘，以缓和信号两端的不连续性，从而抑制频谱泄漏。
$$x_{windowed}[n] = x[n] \cdot w[n]$$$w[n]$: 窗函数（例如Hann窗 $0.5 - 0.5\cos(2\pi n / (N-1))$）
$x_{windowed}[n]$: 应用窗函数后的信号
窗函数的应用相当于在频域中对原信号频谱与窗的频谱进行"卷积"，这导致频率分辨率的下降，这是一个不可避免的权衡。
音响与音频工程：分析乐器或人声的频率特性（倍音结构），测量扬声器和放大器的失真（THD），识别噪声成分（SNR）。FFT在音频领域的日常应用中不可或缺。
振动与故障诊断：对旋转机械（电动机、轴承、汽轮机）的振动信号进行FFT分析，检测特定转速对应的异常峰值，实现故障的早期预警。广泛应用于工厂预防性维护。
通信工程：OFDM等数字通信系统中，FFT/IFFT（逆FFT）是调制和解调的核心技术。同时也用于接收信号中特定频段噪声和干扰的分析。
医学图像处理：MRI（磁共振成像）中，获得的信号（k空间数据）需要通过二维FFT转换成图像。心电图(ECG)和脑电图(EEG)的频谱分析（如α波提取）也依赖FFT。
在开始使用FFT时，有几个容易陷入的陷阱。第一个是"采样频率与显示频率范围的关系"。例如采样频率为44.1kHz时，FFT理论上能看到的最高频率是其一半，即22.05kHz（奈奎斯特频率）。超过这个频率的成分会发生"折叠"（混叠）现象，被误读为低频，完全破坏分析结果。实际工作中必须在测量前用反混叠滤波器去除高频成分。
第二个是"频谱纵轴（幅度）的值不是绝对的"。本工具显示的"幅度谱"是复频谱 $X[k]$ 的绝对值 $|X[k]|$。这个值包含了窗函数的影响和FFT点数N作为归一化系数。例如即便是幅度为1的正弦波，显示的频谱峰值也不会简单地等于1。要获得真实的幅度值，需要考虑所用窗函数的补偿系数（如Hann窗需乘以约2倍）。
第三个是"分辨率与测量时间的权衡"。频率分辨率 $\Delta f$ 由采样频率 $f_s$ 除以FFT点数 $N$ 决定（$\Delta f = f_s / N$）。要观察更细微的频率差异（降低$\Delta f$），需要增加$N$，这意味着需要更长的数据时间。比如测量转速变化的机械振动时，过长的数据会导致频率"模糊化"。理解这个矛盾关系是现场有效数据采集的关键。
以机械设备振动诊断为例，分析检测到的复合信号。假设包含基频50Hz（工频）、3次谐波150Hz、5次谐波250Hz三个成分，采样频率fs=2000Hz，采集0.1秒数据，则FFT在0～1000Hz范围内的频率分辨率为2Hz。从幅度谱可识别基波60V、3倍波15V、5倍波8V，计算得总谐波失真率THD=25.7%。加入噪声水平10时，信噪比下降，可直观判断滤波的必要性。