$$P=\eta\,\rho g Q H,\qquad N_s=\frac{N\sqrt{P}}{H^{5/4}}$$
输出 P 与比速 Ns。η：水轮机效率，ρ：水密度，g：重力加速度，Q：流量，H：有效落差，N：转速。比速用kW功率计算。
$$\phi=\frac{u}{\sqrt{2gH}},\qquad u=\frac{\pi D N}{60}$$
速度比 φ 与转轮周速 u。D：转轮直径。弗朗西斯水轮机适合中落差，比速和速度比都取中等数值。
弗朗西斯水轮机简介
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水轮机有各种种类。"弗朗西斯水轮机"有什么特别之处吗？
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简单来说，弗朗西斯水轮机是"世界上应用最多的水轮机"。这种形式由19世纪的技术人员James B. Francis完善，如今世界水力发电容量的大部分都由这种类型承担。工作原理是"反动水轮机"——从螺旋套壳（涡形入口）进水，通过导水叶环，以半径方向内向的形式进入中央转轮。水在转轮弯曲叶片内传递能量，最后从轴向下方的尾水管流出。
弗朗西斯水轮机擅长的是"中落差"——大约10m到700m。这恰好是拦河式水力发电中最常见的落差范围。所以在世界各地都被广泛使用。输出遵循 $P=\eta\rho g Q H$，同时与落差 H 和流量 Q 成正比。落差增加4倍，输出也增加4倍。这与佩尔顿水轮机的喷流速度仅以落差平方根的速率增加形成对比。在模拟器中升高落差滑块时，输出卡片应该会线性增长。
速度比 φ 是转轮周速 u 除以"将落差完全转化为速度时的理论最大速度"√(2gH) 的结果。佩尔顿水轮机是冲动水轮机，以喷流速度的一半驱动挡板时输出最大——φ≈0.45左右。但弗朗西斯水轮机是反动水轮机，水在叶片内保持压力进行功率传输，所以转轮可以转得更快。大约在 φ=0.6～0.9 范围内。改变转速 N 或转轮直径 D 时φ会变化，试着用模拟器找到落在这个范围内的运行点吧。
常见问题
弗朗西斯水轮机是一种反动水轮机，具有螺旋套壳和导水叶环。水通过导水叶的轮环，向转轮半径方向内流动，由弯曲的转轮叶片吸收能量，然后流向轴向的尾水管。由James B. Francis发明，目前是世界上应用最广泛的水轮机形式。特别适合中落差（约10～700m）的拦河式水力发电，这是水力发电中最常见的落差范围。
其次常见的误解是认为输出 P 与落差 H 的关系是"平方根"。那是佩尔顿水轮机的喷流速度关系，弗朗西斯水轮机的输出是 $P=\eta\rho g Q H$——与落差和流量都成"正比"。落差增加2倍，输出也增加2倍。这是模拟器"输出 vs 有效落差"图表显示直线的原因。而比速 $N_s=N\sqrt{P}/H^{5/4}$ 中落差的幂是1.25，所以提高落差时Ns反而下降。注意输出和比速对于落差的影响方向相反。