网格收敛指数 (GCI) 模拟器

参数设置

细网格解 f₁

最细网格上的解（如阻力系数、最大应力）

中网格解 f₂

特征尺寸 h₂ = r·h₁ 网格上的解

粗网格解 f₃

特征尺寸 h₃ = r²·h₁ 网格上的解

细化比 r

h₂/h₁ = h₃/h₂。推荐 ≥ 1.3，常用 2.0

安全系数 F_s

三网格系列的推荐值 1.25（Roache 1998）

计算结果

—

观测收敛阶 p

—

Richardson 外推 f_ext

—

细网格 GCI (%)

—

粗网格 GCI (%)

—

渐近检查 GCI32/(r^p·GCI21)

—

收敛判定

—

网格收敛图 — 解 f 对网格细度 1/h

横轴为网格细度 1/h（越向右越细）。显示三个计算点（f₃, f₂, f₁）以及 h→0 处的 Richardson 外推值 f_ext，并在 f₁ 周围叠加 GCI 误差带。

解 f vs 1/h（含渐近拟合）

GCI(%) vs 细化比 r

理论与主要公式

$$p=\frac{\ln(|f_3-f_2|/|f_2-f_1|)}{\ln r},\quad \text{GCI}_{21}=\frac{F_s\,|e_{21}|}{r^p-1},\quad f_{ext}=f_1+\frac{f_1-f_2}{r^p-1}$$

观测收敛阶 p、细网格 GCI 与 Richardson 外推值 f_ext。e₂₁ = |f₁-f₂|/|f₁| 为相对误差，r 为细化比，F_s 为安全系数。ASME V&V 20 标准，F_s=1.25 是三网格系列的推荐安全系数。

$$\text{GCI}_{32}=\frac{F_s\,|e_{32}|}{r^p-1},\quad \frac{\text{GCI}_{32}}{r^p\,\text{GCI}_{21}}\approx 1$$

粗网格 GCI 与渐近收敛检查。比值落在 0.9～1.1 之间，可视为处于渐近收敛区，Richardson 外推可信。

什么是网格收敛指数 (GCI)

🙋

看 CFD 结果时，前辈总说「要注意网格依赖性…」。可到底要划多细的网格才算可信呢？是凭感觉决定的吗？

🎓

好问题。其实不应该凭感觉，业界已经有一套标准化的方法，叫做 GCI（网格收敛指数）。它在 ASME V&V 20 这套国际标准里有明文规定。在细、中、粗三套不同的网格上求解同一个问题，根据它们之间的差，就能用百分比表示出当前细网格解可能偏离真值的程度。CFD 论文投稿到主流期刊时，报告 GCI 几乎是硬性要求。

🙋

原来要三套网格啊。用默认值（f₁=100, f₂=105, f₃=115）算出来细网格 GCI 是 6.25%，这是「真值大约是 100±6.25」的意思吗？

🎓

对，正是这个解读。GCI 6.25% 表示细网格解 f₁=100 的不确定度约为 ±6.25%，保守地说「真值大概率落在 93.75 到 106.25 之间」。同时 Richardson 外推值 f_ext=95，表示「网格无限细化时的估计值」。100 与 95 的差就是离散化误差，GCI 把它乘以 1.25 倍安全系数，给出更保守的上界。

🙋

还有一个「渐近检查」的值。它在看什么呢？

🎓

这是检查「Richardson 外推是否值得相信」的自我诊断。理论上若处于渐近收敛区，GCI32/(r^p·GCI21) 应恰好等于 1。默认设置下显示 0.952，非常接近 1，因此可判定「处于渐近区，结果可信」。反之若偏到 0.5 或 2.0，就说明网格还太粗，没按理论速率收敛，应当再细化一级网格后重新评估。

🙋

观测收敛阶 p 显示 1.000。我用 2 阶格式的话，p 不是应该接近 2 吗？

🎓

观察很敏锐！默认例子里两次差刚好成 2 倍（5 和 10），所以 p = ln(2)/ln(2) = 1，相当于「有效精度退化为 1 阶」。即使理论上是 2 阶格式，观测 p 仍可能为 1，常见原因有：(1) 边界层网格太粗导致局部退化为 1 阶；(2) 限制器频繁激活；(3) 仍未进入渐近区。实务上用 2 阶格式却观测到 p=1，先再细化一级网格，看 p 是否向 2 靠拢，这是最常规的处理步骤。

🙋

细化比 r 一般取多少合适？固定为 2 可以吗？

🎓

r = 2 是最常用的取值，结构网格只要把各方向的网格减半即可，实现简单。但 ASME V&V 20 推荐「r ≥ 1.3」，并非必须等于 2。非结构网格要将体积增加 8 倍（线尺寸 2 倍）较为困难，所以工程中也常用 r ≈ 1.5 准备三套网格。反之若 r 取得太大（≥4），粗网格的精度可能不够，物理趋势会被破坏。下方的「GCI(%) vs r」图可以拖动 r 看曲线如何变化。

常见问题

网格收敛指数 (GCI) 由 Roache (1994) 提出，并在 ASME V&V 20-2009 中标准化，是离散化误差的保守度量。对同一问题在三套网格（细、中、粗）上求解，根据解之间的差，可用百分比表示当前细网格解与真值的最可能偏离程度。例如 GCI21 = 6.25% 意味着细网格解的不确定度约为 ±6.25%。在 CFD 与有限元验证 (Verification) 中，报告 GCI 几乎是必备项。

F_s = 1.25 是 Roache (1998) 与 ASME V&V 20 在使用三套网格时推荐的标准值。Richardson 外推在理想渐近区给出的误差估计是准确的，但实际 CFD/FEM 解不一定真正处于渐近区，因此把估计值放大 1.25 倍以保持保守。仅有两套网格时，推荐 F_s = 3.0。若令 F_s = 1.0，结果就等于纯 Richardson 误差，失去安全裕度。

渐近收敛检查 GCI32 / (r^p · GCI21) 理论上应等于 1.0。落在大约 0.9 至 1.1 之间，可视为处于渐近收敛区，Richardson 外推可信。若偏离 1.0 较远，可能原因包括：网格仍然偏粗、解出现非单调（振荡）收敛、或观测收敛阶 p 与理论阶差异过大。此时需进一步加密网格，或重新检查求解器设置（离散格式、边界条件）。

观测阶 p 很少与理论阶（如 2 阶精度时 p=2）完全一致。常见原因有：(1) 网格尚未进入渐近区；(2) 边界、边界层或激波附近局部精度下降；(3) 各向异性网格或混合网格使有效精度降低；(4) 限制器 (limiter) 频繁激活而退化为 1 阶。当 p 低于 0.5 或高于 5 时，Richardson 外推不可信，应重新审视网格序列。健康的观测阶大致在 p = 1.0 至 2.5 之间。

实际应用

航空与汽车空气动力 CFD：翼型或车身周围 CFD 计算阻力、升力系数时，必须报告与网格无关的值。AIAA Drag Prediction Workshop、汽车厂的空气动力规范通常以 GCI ≤ 5% 为目标，使用三至四级网格并报告 GCI 已是标准流程。

透平机械与燃烧室性能预测：蒸汽透平、燃气轮机与火箭发动机燃烧室的效率与温度预测，往往受分离点、激波、反应区分辨率的强烈影响。通过 GCI 可以把不确定度表达为「效率估计 92.3% 不确定度 ±1.5 pt」之类，方便设计权衡与认证申请。

核安全分析：美国 NRC 与 ASME V&V 30 要求使用 GCI 类方法量化安全裕度。例如失水事故 (LOCA) 中包壳温度预测，需将分析的不确定度与法规限值之间的余量明示。通常将 Richardson 外推得到的「真值」与含安全系数的 GCI 上界一并报告。

有限元 (FEM) 应力集中验证：缺口、焊趾、螺栓孔周围是应力集中点，最大应力对网格尺寸非常敏感。对最大 von Mises 应力评估 GCI 并报告「网格依赖性低于 3% 时最大应力为 320 MPa」，可降低低估或高估的风险。在疲劳寿命预测等应力精度直接决定寿命的分析中，此流程不可省。

常见误解与注意事项

最大的陷阱是「未进入渐近收敛区却信任 GCI」。GCI 理论以 Richardson 外推为基础，它只有在解按 r^p 速率收敛，即处于「渐近收敛区 (asymptotic range)」时才成立。若渐近检查 GCI32/(r^p·GCI21) 明显偏离 1.0，或观测收敛阶 p 出现极端值（小于 0.5 或大于 5），说明网格仍然过粗，外推不可信。此时若仍说「GCI=10%，没问题」，真实误差可能高达 30%～50%。在引用 GCI 之前，应先把网格细化到明显进入渐近区。

其次，「将振荡收敛误判为单调收敛」。GCI 公式隐含假设 f₁、f₂、f₃ 是单调收敛（始终增大或始终减小）。但实际中由于湍流模型不稳定或迭代未收敛，解可能围绕真值振荡。例如 f₁=100, f₂=98, f₃=102 这种情形，|f₃-f₂|/|f₂-f₁| 失去物理意义，观测 p 也不可靠。请务必先画出三点，确认是否单调；若振荡，则应改用更保守的估计如 max(|fi - fj|)。本工具中显示「非渐近域」时即为警告信号。

最后，「把全局指标与局部指标混为一谈」。GCI 本质上是对积分量或代表点取值（阻力系数、最大温度等）进行评估的指标。若在场的每个单元上 (cell-by-cell) 都算 GCI，会因噪声或局部非单调性出现大量异常值。论文或报告中提及 GCI 时，请明确写出评估对象，如「升阻比 L/D 的 GCI 为 3%」「点 A 处最大 von Mises 应力的 GCI 为 5%」。若有多项评估量（升力、阻力、力矩等），应分别独立评估 GCI 并以最保守者为准。