半值幅法减衰比测量模拟器

参数设置

固有振动数 fₙ

共振峰出现的周频率

减衰比 ζ

此值将用半值幅法重现

质量 m

系统等价质量。影响刚性k和静挠度

加振力振幅 F

频率扫描时施加的正弦加振力振幅

计算结果

—

品质因数 Q

—

半值幅 Δf (Hz)

—

下侧半值点 f₁ (Hz)

—

上侧半值点 f₂ (Hz)

—

测量减衰比 ζ

—

共振放大倍数

—

共振峰与半值幅 — 频率扫描动画

FRF幅度曲线的共振峰及峰值÷√2的半值线（虚线）。曲线与虚线相交的f₁、f₂处标记，其间的半值幅Δf用网格阴影表示。标记沿频率轴扫过。

频率响应函数（FRF）

半值幅 Δf vs 减衰比 ζ

理论·主要公式

$$H(r)=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\qquad Q=\frac{1}{2\zeta}$$

无次元幅度H（以静挠度正规化的位移）及品质因数Q。r=f/fₙ为周频率比，ζ为减衰比。共振峰高度在轻减衰时约等于Q。

$$\zeta=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}\approx\frac{\Delta f}{2 f_n}$$

半值幅法求减衰比。f₁、f₂为共振左右处FRF幅度降至峰值÷√2（−3dB）的半值点，Δf=f₂−f₁为半值幅。

$$r_1=\sqrt{1-2\zeta},\qquad r_2=\sqrt{1+2\zeta},\qquad k=m\,(2\pi f_n)^2$$

半值点周频率比r₁、r₂（f₁=fₙ·r₁、f₂=fₙ·r₂）及系统刚性k。m为质量，静挠度为x_st=F/k。

什么是半值幅法

🙋

经常听说「半值幅法测量减衰」，减衰比是反映振动容易停止的程度的值吧？用「幅度」来测量是什么意思呢？

🎓

问得好。减衰比ζ表示「振动多快停止」的无次元数，越小振动持续时间越长。半值幅法的关键在于减衰大小与「共振峰的尖锐度」直接相关。用频率逐渐变化的方式晃动结构，把响应大小绘制成图表，会在固有振动数fₙ处出现一个山峰。减衰小时山峰细而高，减衰大时山峰平缓而矮。所以测量山峰的「宽度」就能反推减衰大小，这就是原理。

🙋

原来如此，山峰的宽度。但宽度从哪里到哪里测呢？山的两侧一直延伸到响应为零啊。

🎓

这正是此方法的妙处所在。不是测量到两侧，而是「在峰值的1/√2的高度处」测宽度。在峰值除以√2的高度处画一条水平线，会与山峰的左右各交一次。这两个周频率分别叫f₁、f₂，它们的差Δf=f₂−f₁就是「半值幅」。本工具上面的画布里，虚线就是半值线，其上的红点和绿点就是f₁、f₂，网格阴影就是Δf。增加减衰比试试，山会变宽，Δf也会增大。

🙋

为什么要用1/√2呢？一半的话用1/2的高度就可以了，1/√2看起来有点奇怪。

🎓

这里的「半值」指的不是幅度，而是「功率减半」。振动的能量、功率与幅度的平方成正比。所以幅度为峰值的1/√2倍时，功率就是(1/√2)²=1/2。用分贝表示就是10·log₁₀(0.5)≈−3dB。这就是为什么「半值幅法」也叫「3dB法」「半功率带宽法」。电气滤波器的带宽概念完全一样。

🙋

知道了f₁和f₂后，怎样求减衰比呢？

🎓

这也很漂亮，ζ=(f₂−f₁)/(f₂+f₁)，只需简单的减法和除法就出来了。轻减衰的情况f₂+f₁≈2fₙ，所以也可以记为ζ≈Δf/(2fₙ)。本工具的默认值（fₙ=50Hz、ζ=0.030）看一下，f₁≈48.48Hz、f₂≈51.48Hz、Δf≈3.00Hz。Δf/(2fₙ)=3.00/100=0.030，恰好回到输入的ζ值。从「看得见的数据」FRF推导出「看不见的物性」减衰，这就是半值幅法的价值所在。

🙋

听起来很方便，但任何时候都能用吗？如果万能的话，其他方法就不需要了。

🎓

遗憾的是，不是万能的。半值幅法在「减衰小、模态充分分离」的情况下表现最好。反之，减衰大（ζ超过0.1左右）时，峰变得平缓，半值点变得模糊，近似式的误差也增大。更麻烦的是相邻模态的峰值和尾部重叠的情况。一个山的尾部落在另一个山的半值线上，就无法正确读出f₁、f₂。这种时候就要用圆拟合或有理多项式拟合这样更高级的模态参数估计方法。实务中两种方法结合使用，两边都确认一下最放心。

常见问题

半值幅法是通过单自由度振动系统频率响应函数（FRF）出现的共振峰的「宽度」来求取减衰比的频域测量方法。用频率变化的方式对结构进行加振，测量共振峰的响应幅度，读取响应下降到峰值的1/√2（−3dB）的两个周频率f₁、f₂。减衰比由ζ=(f₂−f₁)/(f₂+f₁)≈Δf/(2·fₙ)直接求得。共振越尖锐，Δf越窄，表示减衰越小。

1/√2（≈0.707）是功率恰好为一半的点。振动的能量、功率与幅度的平方成正比，所以当幅度为峰值的1/√2倍时，功率为峰值的(1/√2)²=1/2。这在分贝中对应10·log₁₀(0.5)≈−3dB，「半值幅」「3dB带宽」「半功率带宽」等术语都指同一点。

半值幅法属频域方法，对数衰减法属时域方法，互为补充。对数衰减法从自由振动振幅每周期衰减的比例求ζ，只需敲击一点测其响应即可，使用方便。而半值幅法需进行频率扫描加振或脉冲加振后FFT得到FRF，但可同时处理多个模态，是模态分析的标准程序。对于尖锐的单一模态两种方法结果一致，但模态密集的结构采用半值幅法，噪声大的现场采用对数衰减法。

半值幅法在减衰小、模态充分分离时精度最高。相反，减衰大（ζ超过0.1）时，r₁=√(1−2ζ)、r₂=√(1+2ζ)近似失效，峰本身变得平缓，半值点难以读取。更麻烦的是相邻模态峰值重叠时，一个模态的尾部干扰另一个的半值线，f₁、f₂无法正确读取。另外频率分辨率太粗时，狭窄的Δf只能用几条谱线捕捉，误差很大。这些情况下需用圆拟合、有理多项式拟合等更高级的模态参数估计方法。

实际应用

模态分析（实验模态分析）：半值幅法是实验模态分析最基本的减衰估计手段。用冲击锤或振动台励振结构，用加速度传感器测量响应并得到FRF，然后对各共振峰应用半值幅法，提取固有振动数、减衰比、模态形状三点组合。桥梁、建筑结构、飞机机翼、汽车车身等几乎所有结构的动特性评估都首先用此方法粗测。

机器异常诊断·状态监测：旋转机械或工厂设备中，螺栓松动、裂纹、支撑刚性变化会改变共振峰的形状。定期获取FRF，用半值幅追踪减衰比，可检测减衰的急剧变化或Δf加宽作为结构劣化的早期信号。减衰变化通常比固有振动数频移更敏感，是预知保全的重要参数。

减振设计·隔振设计验证：加装减振材料、动力吸收器、隔振橡胶后，可用半值幅法验证减衰是否按设计增加。比较施工前后FRF，如果共振峰降低且Δf加宽，说明减振有效；反之峰几乎不变则需调整吸收器安装位置或调谐频率。

声学·电气共同语言：半值幅（3dB带宽）的概念不仅限于机械振动。扬声器、麦克风的共振，RLC电路的滤波器，激光共振腔的品质因数Q都用同样定义。机械领域掌握的半值幅法可直接应用于声学工程或电子电路的Q值理解。

常见误解和注意事项

最常见的是「用峰值的1/2高度来测幅度」的错误。半值幅的「半值」指功率减半，幅度表示时是1/√2≈0.707倍的高度。不小心用1/2（=0.5倍）高度读f₁、f₂会导致带宽偏宽，减衰比估计偏大。必须确认FRF是用幅度、功率（幅度平方）还是分贝表示，幅度显示时读0.707×峰值，分贝显示时读峰值以下−3dB的点。这是半值幅法最容易出错的地方。

其次是「不考虑频率分辨率来测狭窄的峰」。减衰小的结构共振峰非常尖锐，半值幅Δf可能只有几Hz。如果FFT的频率分辨率ΔfFFT与此同量级，峰只能用2~3条谱线捕捉，半值点读取误差会非常大。经验上半值幅内至少应有5~10条谱线，需要拉长测量时间来细化分辨率。粗分辨率得到的减衰比常常是真值的数倍。

最后是「认为半值幅法对所有结构都直接适用」的误区。半值幅法是以单自由度系尖锐单个共振为前提的近似法。减衰大（ζ超过0.1）时峰变平缓，半值点模糊，且r₁=√(1−2ζ)、r₂=√(1+2ζ)近似误差也不能忽视。相邻模态间隔小、峰值尾部重叠的结构中，一个响应会干扰另一个的半值线，f₁、f₂读不准。这些情况应采用圆拟合（奈奎斯特圆拟合）或有理多项式曲线拟合等更高级方法，把半值幅法作为初值估计手段。

什么是半值幅法

常见问题

实际应用

常见误解和注意事项

使用指南

具体计算示例

实务中的注意点