使用说明
• 点击画布 → 从该点开始绘制轨迹
• 可同时显示多条轨迹
• 调整参数改变系统行为
轨迹数: 0
积分方法: RK4 / dt = 0.01
x: 0 y: 0
理论与主要公式
$$\ddot{x} + 2\zeta\omega_n\dot{x} + \omega_n^2 x = F_0\cos(\omega t)$$
線形減衰振動：\(\zeta\) 減衰比、\(\omega_n\) 固有角振動数
$$\ddot{x} + \delta\dot{x} + x + \beta x^3 = \gamma\cos(\omega t)$$
Duffing方程式：\(\beta>0\) 硬化型、\(\beta<0\) 軟化型。\(\gamma\) が大きいとカオス発生
$$\lambda = \lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\ln\frac{|\delta x(t)|}{|\delta x(0)|}$$
最大リアプノフ指数：\(\lambda>0\) でカオス
1. 简谐振子
$$\dot{x}=y,\quad \dot{y}=-\omega^2 x$$
能量守恒系统。相图中轨迹为封闭椭圆，形成同心椭圆族，不同轨迹互不相交。椭圆的大小反映振幅，形状由频率决定。
2. 阻尼振子
$$\dot{x}=y,\quad \dot{y}=-2\gamma y - \omega^2 x$$
能量耗散系统。轨迹以螺旋形式收敛至原点（稳定不动点）。$\gamma < \omega$ 时欠阻尼螺旋衰减，$\gamma > \omega$ 时过阻尼单调衰减。
3. 范德波尔振子
$$\dot{x}=y,\quad \dot{y}=\mu(1-x^2)y - x$$
$|x|<1$ 时负阻尼（能量注入），$|x|>1$ 时正阻尼（能量耗散）。所有轨迹最终收敛到唯一的极限环。真空管振荡电路和心脏节律的数学模型。
4. 达芬振子（周期强迫）
$$\dot{x}=y,\quad \dot{y}=-\delta y - \alpha x - \beta x^3 + \gamma\cos(\omega t)$$
非线性弹簧加周期外力。适当参数下出现奇异吸引子和确定性混沌，可直观观察蝴蝶效应（初始值敏感性）。
5. 洛伦兹吸引子（x-z 投影）
$$\dot{X}=\sigma(Y-X),\quad \dot{Y}=X(\rho-Z)-Y,\quad \dot{Z}=XY-\beta Z$$
大气对流的简化模型。三维轨迹投影到x-z平面，展示标志性的"蝴蝶型"奇异吸引子，是确定性混沌的经典演示。
学生：相图和普通的时间序列图有什么区别？
工程师：时间序列图是"横轴时间、纵轴位移"，而相图是"横轴位移、纵轴速度"。去掉时间轴的好处是系统的定性结构变得一目了然——封闭曲线代表周期运动，螺旋线代表衰减，复杂缠绕代表混沌。只看一眼相图，就能判断系统的长期行为。
学生：那阻尼振子的轨迹是螺旋形收缩到原点吗？
工程师：正确。原点就是"稳定不动点吸引子"。工程实践中，减振设计的核心就是调整阻尼系数，让振动尽快衰减。从相图上可以直观看出：螺旋收缩越快，衰减越迅速。调整参数 $\gamma$ 试试，可以看到从欠阻尼螺旋到过阻尼单调收敛的转变。
学生：范德波尔振子的极限环为什么对初始条件不敏感，无论从哪里出发最终都到达同一轨道？
工程师：关键在于 $\mu(1-x^2)y$ 这一项。$|x|<1$ 时该项给系统注入能量，轨迹向外扩展；$|x|>1$ 时耗散能量，轨迹向内收缩。两者达到平衡的那条闭合曲线就是极限环，它从内外两侧都吸引轨迹。这是一种自持振荡，不需要外部激励就能维持稳定节律。
学生：心脏也是这样的吗？
工程师：可以这样理解。心脏起搏细胞无需外部刺激就能自主节律放电，受到干扰后也能恢复原有节律——这正是极限环吸引子的特征。把参数 $\mu$ 调大，波形会变成锯齿状（弛豫振荡），与某些心律不齐的心电图形态颇为相似。
学生：混沌和随机有什么区别？两者看起来都是不可预测的。
工程师：这是非常重要的区别。混沌是确定性的——方程完全确定，相同初始条件必然产生相同轨迹。不可预测性来自初始值的极端敏感性：两条极近的初始轨迹会指数级分离（李雅普诺夫指数为正）。而随机性是本质上的不确定。天气预报在两周后失效，不是因为大气是随机的，而是因为它是混沌的——初始数据的微小误差会被指数放大。
具体计算示例
范德波尔振子（μ=0.5）：初始条件x₀=0.1m，v₀=0，积分步长Δt=0.01s。前100步相空间沿y轴螺旋展开，μ增至2.0时极限环周期从T≈6.2s跃升至T≈12.5s。洛伦兹系统（σ=10，ρ=28，β=8/3）初值(1,1,1)，积分1000步后轨迹形成蝴蝶形混沌吸引子，最大Lyapunov指数λmax≈0.906。