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结构分析

塑性断面系数模拟器

梁的断面「最初屈服的瞬间」到「断面全体屈服形成塑性铰链的瞬间」具有多少余力的工具。矩形、实心圆形、I形的尺寸改变时，弹性断面系数 S、塑性断面系数 Z、形状系数 f、屈服矩 My、全塑性矩 Mp 实时计算。

参数设置
断面形状
弯曲是强轴（水平轴）周围
宽 b（圆形为直径）
mm
矩形、I形为断面宽，圆形为直径 d
高度 h
mm
断面全高（圆形不用）
翼缘厚 tf（仅I形）
mm
腹板厚 tw（仅I形）
mm
屈服应力 σy
MPa
SS400 约235、SM490 约325 为参考
计算结果
—
弹性断面系数 S (cm³)
—
塑性断面系数 Z (cm³)
—
形状系数 f = Z/S
—
屈服矩 My (kN·m)
—
全塑性矩 Mp (kN·m)
—
预留强度比 Mp/My
—
断面和弯曲应力分布 — 弹性→全塑性

左边是选择的断面，右边是弯曲应力分布。从弹性状态（最远边只有 σy 的三角形分布）到全塑性状态（断面全体 ±σy 的矩形块）连续变化。填充部分是屈服领域。

矩-曲率关系
弹性断面系数 S 和塑性断面系数 Z 的比较
理论·主要公式

$$\text{矩形: }S=\frac{bh^2}{6},\quad Z=\frac{bh^2}{4},\quad f=\frac{Z}{S}=1.5$$

矩形断面的弹性断面系数 S 和塑性断面系数 Z。两者的比是形状系数 f，矩形正好 1.5。b：宽，h：高。

$$M_y=S\,\sigma_y,\qquad M_p=Z\,\sigma_y$$

屈服矩 My（最远边初次屈服的弯曲矩）和全塑性矩 Mp（断面全体屈服的弯曲矩）。σy：屈服应力。

形状系数 f 是初次屈服后到全塑性铰链形成为止断面还能承受的矩的大小的指标。

塑性断面系数和形状系数的含义

🙋
「断面系数」是表示梁的弯曲强度的那个值吧。但是「弹性」和「塑性」两种都有，有什么区别吗？
🎓
好问题。梁弯曲时，首先断面最外侧纤维（最远边）达到屈服应力。这个瞬间由弹性断面系数 S 支配。S=I/c，I 是断面二次矩，c 是从中立轴到边的距离。进一步弯曲，屈服领域从外向内扩展，最后整个断面屈服。这个「全塑性」瞬间由塑性断面系数 Z 支配。
🙋
明白了。那么，这两个比值「形状系数 f」是什么意思呢？
🎓
简单说就是「初次屈服后的余力」。f=Z/S，初次屈服的矩 My 之后，全塑性矩 Mp 能上升到多少倍。左边把断面形状改成「矩形」试试。f 应该正好是 1.5。这是数学上的精确值，矩形就是 3/2。实心圆形的话是 16/(3π)≈1.698。
🙋
哦，我把「I形」改了，f 降到了 1.1 多一点。为什么不同形状的断面 f 会变化这么大呢？
🎓
这是形状系数最有意思的地方。原因是「材料分布在哪里」。I形的断面积大部分集中在上下翼缘，也就是最远边附近。最远边初次屈服时，几乎所有材料都接近屈服了。剩余余力很小，所以 f 很小。反过来矩形在中立轴附近有很多材料，初次屈服时它们还完全没屈服。那部分「余力」就很大。
🙋
那 My 和 Mp 在设计时怎么区分使用呢？
🎓
My=S·σy 是最远边初次屈服的矩，弹性允许应力设计的上限参考。Mp=Z·σy 是断面完全塑性化、失去弯曲刚度、形成塑性铰链的矩。钢结构的保有耐力计算和塑性设计以 Mp 为基准。实际中常说「弹性设计浪费了 f 倍的余力」。下面的矩-曲率图看，超过 My 曲线开始变平，接近 Mp 时几乎水平，能看出这个变化。
🙋
最后问一个。I形翼缘太厚的话计算不会出问题吗？
🎓
敏锐的指摘。I形的全高 h 减去上下翼缘厚 tf，得到 hw=h−2tf，这是腹板的内跨度。翼缘太厚，hw 变成 0 以下就不成立了。这个工具守护 hw>0，不成立的输入会出警告。实际的H形钢翼缘厚度最多全高的10%左右。用这种工具确认极端尺寸的行为，本身也是学习的方法之一。

常见问题

弹性断面系数 S 支配断面最外侧纤维恰好达到屈服应力的瞬间（初次屈服）。S=I/c，I 是断面二次矩，c 是从中立轴到最远边的距离。塑性断面系数 Z 支配断面全体屈服、形成全塑性铰链的状态。Z 是中立轴周围上下半断面面积矩的和。S 给出屈服矩 My=S·σy，Z 给出全塑性矩 Mp=Z·σy。
形状系数 f=Z/S 是从初次屈服到全塑性铰链断面还能承受的矩的比值。矩形 f=1.5（正好 3/2），实心圆形 f=16/(3π)≈1.698，典型I形 f≈1.10～1.18。差异是材料分布不同造成的。I形断面积大部分已在最远边附近，初次屈服时几乎所有材料都接近屈服，预留小。矩形和圆形在中立轴附近还有许多未屈服的材料，那部分的预留较大。
屈服矩 My=S·σy 是最远边初次屈服的弯曲矩，弹性允许应力设计的上限参考。全塑性矩 Mp=Z·σy 是断面完全塑性化、失去弯曲刚度、形成塑性铰链的弯曲矩。塑性设计（极限设计）和钢结构保有耐力计算以 Mp 为基准。My 和 Mp 的比正好是形状系数 f，从弹性设计切换到塑性设计，见掛的耐力会增加 f 倍。
对称I形断面（翼缘宽 b、翼缘厚 tf、全高 h、腹板厚 tw）强轴周围的塑性断面系数为 Z = b·tf·(h−tf) + tw·hw²/4 计算。hw=h−2tf 是腹板的内跨度。第1项是2片翼缘的贡献，第2项是腹板的贡献，各自作为中立轴周围的面积矩相加。翼缘厚时确认 hw>0。hw 为负的输入物理上不成立。

实际应用

钢结构的塑性设计·保有耐力设计：钢铁框架结构的梁和柱，断面的耐力用全塑性矩 Mp 评估。地震时梁端形成塑性铰链、吸收能量、保护建筑物的「梁屈服型」设计中，各部材的 Mp 是设计的出发点。H形钢的断面表中列出的「塑性断面系数 Zx」正是本工具计算的 Z。

弹性设计和塑性设计的比较检讨：同样的梁，弹性（允许应力）设计用 My，塑性设计用 Mp 作为耐力基准。其差就是形状系数 f。切换设计方法时，矩形断面耐力变1.5倍，I形变1.1倍左右。选用哪种设计方法、断面形状的选择如何影响耐力，用本工具能定量确认。

机械零件·轴·臂类：起重机吊臂、建筑机械臂、回转轴等，过载时能承受多少塑性变形是安全设计的关键。实心圆棒（圆形断面）形状系数约1.7，很大，初次屈服超过后也不会急速破坏，有「韧性」。这个韧性的大小按断面形状比较很有用。

非线性有限元分析的事前检讨和检算：进行弹塑性有限元分析前，用本工具概算断面的 Mp，可用来检证分析结果的合理性。如果有限元得到的梁终局弯曲耐力和 Z·σy 相差很大，怀疑材料模型或断面定义有误。反之一致的话，说明分析正确捕捉到了塑性化。

常见误解和注意点

最大的误解是「可以安全使用到全塑性矩 Mp」的想法。Mp 只是断面完全塑性化、形成塑性铰链的矩，不是设计常用的值。达到 Mp 的断面失去弯曲刚度，稍微增加负荷就会大幅变形。实际设计要么给 Mp 留安全系数再用，要么允许塑性铰链的情况下单独检讨变形量和铰链位置、数量。要理解「Mp = 断面能持有的理论最大弯曲耐力」而不是「Mp = 可用上限」。

其次是「形状系数 f 越大的断面越优越」的误解。f 大（圆形1.7、矩形1.5）意味着「初次屈服后的余力」大，对破坏安全有利。但 f 大的断面，同样材料量得到的弹性断面系数 S 反而小，对挠度和初次屈服不利。I形虽然 f 小（约1.1），但材料集中在最远边，S 和 Z 都很大，重量效率最高。仅看 f 选断面是错的，要按所需刚度、耐力、重量的平衡判断。

最后是「本计算考虑了局部座屈和横倒座屈」的误解。本工具的 Mp=Z·σy 前提是断面不座屈、直接全塑性化。实际薄壁断面经常在达到 Mp 前发生翼缘局部座屈或梁整体横倒座屈，实际耐力比 Mp 低。钢结构设计中按宽厚比（紧凑断面与否）分类，座屈决定耐力的断面用不了 Mp。本工具只处理断面本身的塑性耐力，座屈照查要另做。

使用指南

  1. 选择断面形状。矩形断面输入宽b(mm)和高h(mm)，I形断面指定翼缘厚tf、腹板厚tw、全高h
  2. 设置钢材屈服点（通常SS400是235 MPa、SM490是355 MPa），模拟器自动计算弹性断面系数S、塑性断面系数Z、形状系数f=Z/S
  3. 根据输出的屈服矩My、全塑性矩Mp、预留强度比Mp/My，判断初次屈服时的安全性和到塑性铰链形成为止的余裕度

具体计算例

H形钢 H-200×100×5.5×8（翼缘宽100mm、翼缘厚8mm、腹板厚5.5mm、全高200mm）的情况：弹性断面系数S≈214 cm³、塑性断面系数Z≈274 cm³，形状系数f≈1.28。SS400钢（Fy=235 MPa）时屈服矩My=50.3 kN·m，全塑性矩Mp=64.4 kN·m，预留强度比Mp/My≈1.28，初次屈服后还有约28%的追加耐力。

实际应用注意事项

  1. 矩形断面和I形断面形状系数不同。矩形f≈1.5，I形f≈1.1～1.3左右，肉厚越薄f越小、局部座屈风险越高
  2. 塑性设计以全塑性矩Mp为基准照查，但梁长Lb较长时横倒座屈会使实际耐力低于Mp，要按横倒座屈限界Lb/(ry)确认
  3. 接合部是螺栓摩擦接合时，滑动系数降低会阻碍塑性铰链发展，发挥全塑性矩需要M16以上高力螺栓两列以上的配置