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不确定性量化 (UQ)

多项式混沌展开 (PCE) UQ 模拟器 — Hermite多项式

对高斯输入 X～N(μ,σ²)，用 Hermite 多项式展开模型 Y = a₁X + a₂X² 并解析计算出力的平均值、方差、Sobol 灵敏度。该工具让你在实时观察 PCE 系数与蒙特卡洛样本匹配的过程中，深入理解不确定性传播的本质。

参数设置
输入平均值 μ
输入高斯分布 X～N(μ,σ²) 的平均值
输入标准偏差 σ
输入波动幅度。σ 越大，非线性项贡献越明显
PCE 阶数 P
展开截断的最大阶数。Y 为二次多项式，P≥2 时厳密
模型一阶系数 a₁
响应模型 Y = a₁X + a₂X² 的一阶系数
模型二阶系数 a₂
非线性性强度。a₂=0 时响应完全线性
计算结果
—
PCE 阶数 P
—
出力平均值 E[Y]
—
出力方差 Var[Y]
—
出力标准偏差 σ_Y
—
1阶 Sobol 指标 (%)
—
2阶 Sobol 指标 (%)
—
输入分布 → 响应 → 出力分布

左侧输入高斯分布生成粒子，通过响应函数 Y=f(X) 流向右侧出力分布。出力直方图为蒙特卡洛近似，光滑曲线为 PCE 构建的解析分布。

PCE 系数 y_k 与阶数 k
出力曲线 Y(ξ)（ξ ∈ [-3, 3]）
理论·主要公式

$$Y(\xi) = \sum_{k=0}^{P} y_k\,He_k(\xi),\quad E[Y]=y_0,\quad Var[Y]=\sum_{k=1}^{P} y_k^2\,k!$$

He_k 为概率论者 Hermite 多项式（He₀=1, He₁=ξ, He₂=ξ²-1, He₃=ξ³-3ξ, He₄=ξ⁴-6ξ²+3）。系数 y_k 由标准正态权重正交投影计算，平均值为 y₀，方差为 y_k² 与 k! 加权和。

$$y_0 = a_1\mu + a_2(\mu^2+\sigma^2),\quad y_1 = (a_1 + 2 a_2\mu)\sigma,\quad y_2 = a_2\sigma^2$$

将 Y = a₁X + a₂X² 代入 X = μ+σξ 并利用 ξ² = He₂(ξ)+1 推导的解析解。k≥3 的系数严格为零。

$$S_1 = \frac{y_1^2}{\mathrm{Var}[Y]},\qquad S_2 = \frac{2\,y_2^2}{\mathrm{Var}[Y]}$$

直接从 Hermite-PCE 得出的 Sobol 灵敏度指标。S₁ 为一阶分量、S₂ 为二阶（非线性）分量占出力方差的比例。

多项式混沌展开 (PCE) 与不确定性传播

🙋
「不确定性量化」就是说输入有变化时出力也会变，对吧…但用多项式来表示感觉很奇怪。
🎓
是的，输入 X 是随机变量时，出力 Y 也成为随机变量。这叫「波动传播」，UQ 的核心就是高效求出分布与统计量。PCE 的妙处在于，将出力 Y 表示为「与输入挂钩的标准随机变量 ξ 的多项式和」。把 ξ 看作高斯输入的标准化，那么 Y(ξ) = y₀ He₀ + y₁ He₁(ξ) + y₂ He₂(ξ) + …，只要求出系数 y_k，平均值、方差甚至全部分布都能得到——这就是 PCE 的精妙之处。
🙋
右边「PCE 系数 y_k」的图，看起来 y₃ 之后真的是零。这是巧合吗？
🎓
不是巧合，是理论使然。这个模型 Y = a₁X + a₂X² 中 X 只到二次，代入 X = μ + σξ 展开后也只出现到 ξ²。把 ξ² 转换为 Hermite 基底得 He₂(ξ)+1，所以 y₀, y₁, y₂ 有值，k≥3 严格为零。这道玩具问题 P=2 时「截断误差为零」成为解析解。实际工程中 P=3～5 对光滑响应基本收敛。
🙋
「Sobol 指标」也很有意思。看到 98% 和 2% 的分割，这代表什么？
🎓
这是出力方差的「构成」。S₁=98% 表示「Var[Y] 的 98% 由输入 X 的线性响应（a₁X 部分）造成」，S₂=2% 表示「剩余 2% 来自非线性部分（a₂X² 部分）」。Hermite-PCE 中各阶系数独立作用于方差，所以 y₁² 和 2y₂² 的比例就直接给出 Sobol 指标。这比蒙特卡洛的 Sobol 求法（需数万补充样本）强得多。
🙋
我把 σ 调大了，突然 S₂ 的比例上升了。为什么呢？
🎓
注意到公式了，很好。y₁ = (a₁ + 2 a₂μ)σ 是 σ 的一次函数，而 y₂ = a₂σ² 是 σ 的平方。σ 翻倍时 y₁ 翻倍、y₂ 翻 4 倍，二阶项方差贡献（2y₂²）一下子跳出来了。工程上这反映「输入波动小时线性近似够用，波动大了非线性项不能忽略」的直观感受。设计容差合理性评估时，这种感觉特别有用。
🙋
实际 CAE 用 PCE 时，不是像这么简单的多项式，而是有限元求解器做黑箱吧？系数 y_k 怎么求？
🎓
实用多是「非侵入型 PCE」。不碰求解器，只在指定采样点（高斯求积、Sobol/LHS 点）取计算结果 Y，用最小二乘回归或 Galerkin 投影拟合 y_k。20～200 次评估就搞定，即使 FEM 单个跑需数小时也可行。系数一旦确定，平均、方差、Sobol 指标解析一步到位。这个模拟器展示的就是「得到系数后的最后一步」。

常见问题

PCE 是一种不确定性量化（UQ）方法，将不确定输入的出力展开为正交多项式的有限和。Y(ξ) = Σ y_k He_k(ξ)，其中系数 y_k 通过 Galerkin 投影、回归或稀疏采样求得。输入分布决定了使用的基函数（Wiener-Askey 方案）：高斯输入用 Hermite、均匀分布用 Legendre、gamma 分布用 Laguerre。与蒙特卡洛法相比，对光滑响应，PCE 用极少样本数（数十到数百次评估）就能获得高精度的出力统计。
Hermite 多项式 He_k(ξ) 关于标准正态分布的权重 e^(-ξ²/2)/√(2π) 正交。即 E[He_i He_j] = i! δ_ij 成立，因此系数 y_k = E[Y He_k]/k! 可独立计算。由于正交性，出力方差也写成 Var[Y] = Σ_{k≥1} y_k² k! 的简单和，系数间无交叉项。输入分布改变时，适用基函数也随之改变，这就是 Wiener-Askey 方案的核心。
蒙特卡洛（MC）易于实现，维度影响小，但收敛速度仅 1/√N。对重型 CAE 分析需要 10000+ 次计算。PCE 若响应光滑（输入关系为多项式或指数级），低阶（P=3～5）截断能以数十次评估达到数万次 MC 的精度。但当响应含不连续、阈值、离散跳跃时，收敛差，需改用 MC、分层采样或稀疏网格。
PCE 系数 y_k 的方差贡献量为 y_k²·k!（Hermite 基底）。将各输入变量或其组合对应的基函数系数集合起来，取其对总方差的比率就得到 Sobol 灵敏度指标。例如一维 Y = a₁X + a₂X² 情形，y₁²（一阶项）与 2y₂²（二阶项）的比值分别表示「一阶成分占出力方差比例」与「非线性成分占比」。相比 MC 方法的 Sobol 指标（需额外大量样本），PCE 仅需后处理无需补充采样。

现实应用

概率有限元法（SFEM）：在结构分析中，材料常数（杨氏模量、屈服应力、阻尼系数）或边界条件（荷载、温度、接触刚度）存在波动，需求出响应（应力峰值、最大位移、固有频率）的概率分布。「非侵入型 PCE」成为标准：保持 FEM 求解器不变，仅在高斯求积点处计算并用回归拟合 PCE 系数。可将 10000 次蒙特卡洛降至 50 次 PCE，广泛用于汽车、航空、核电等可靠性评估。

CFD·热流体不确定性传播：乱流模型系数（k-ε 的 Cμ 等）、入口流速、表面粗糙度的不确定性如何传入阻力系数、温度分布的波动。单个 CFD 案例需数小时至数天，蒙特卡洛实际不可行。通常配合稀疏 PCE、稀疏网格+Smolyak 算法，20～100 案例完成分布估计。NASA、ONERA 等航空认证涉及众多实例。

控制系统·电子电路稳健设计：评估传感器噪声、电阻公差、温漂对控制性能或电路特性的影响，避免过保守的最坏情况设定。PCE 代理一旦建立，可直接计算 Sobol 指标，判断「哪个公差最关键」，指导成本最优的公差分配（tolerance allocation）。在半导体、功率电子领域近年广泛应用。

气象·地球科学·金融工程：气候模型敏感性评估、地下水流动不确定性、期权价格参数波动等大型多维模拟。多维时张量基底会爆炸，通常用稀疏 PCE、自适应 PCE、低秩张量分解等技巧，保留必要基函数最小化计算。

常见误区与注意事项

最大坑是「对非光滑响应用低阶 PCE」。PCE 对光滑（解析或 ξ 光滑）响应指数收敛，但座屈、碰撞、接触等含不连续或阈值的响应，低阶 Hermite 展开会产生 Gibbs 现象般振荡，平均值对但方差、尾部概率严重偏离。判断标准：升高 P 后系数范数是否几何级数衰减。不衰减就换稀疏网格、混合 MC、分域 PCE。

其次是「输入分布与基底匹配错误」。Wiener-Askey 方案规定每种分布对应最优基底（高斯→Hermite、均匀→Legendre、指数→Laguerre、Beta→Jacobi）。用错了（如高斯输入用 Legendre）正交性破裂，系数交叉污染，收敛精度大幅恶化。混合分布时应逐个输入用 Rosenblatt/Nataf 变换转为标准变量，再用对应基底。

最后是「外推信任 PCE 多项式」。PCE 在采样范围（典型 ±3σ）内有效，超出范围多项式外推无物理保证。例如实际 σ 变成学习时的 5 倍，Y(ξ) 作为多项式会发散，这不是真实系统响应而是数学外推。处理极值、尾部概率时，应限制 PCE 有效域、用蒙特卡洛或重要性采样补充。

使用指南

  1. 输入高斯分布参数（例：钢管外径公称值 100mm，制造公差 σ=0.5mm）
  2. 选择 PCE 展开阶数（1～5 阶；高阶精度高但计算负荷增加）
  3. 设定线性响应系数（例：应力计算 σ=E×ε，系数=200GPa）
  4. 运行模拟，自动计算出力分布统计量与 Sobol 灵敏度指标

具体计算示例

薄壁圆筒，外径 d=100mm（μ=100, σ=0.8mm），轴应力 σ=4P/(πd²)，轴荷 P=50kN，PCE 3 阶展开用 Hermite 多项式基底，得平均应力 E[σ]=6.32MPa、方差 Var[σ]=0.18MPa²（标准差 σ_σ=0.42MPa）。1 阶 Sobol 指标显示外径变动占 91.3% 灵敏度，量化制造公差管理优先级。

工程实务注意