哈密顿算符：$\hat{H}= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$
能量本征值：$E_n = \hbar\omega\!\left(n+\tfrac{1}{2}\right)$
波函数：$\psi_n(x) = N_n\, H_n\!\left(\frac{x}{x_0}\right) e^{-x^2/2x_0^2}$
特征长度：$x_0 = \sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}}$
不确定性：$\Delta x \cdot \Delta p = \hbar\!\left(n+\tfrac{1}{2}\right)$
量子谐振子模拟器简介
🙋
量子谐振子是什么？与普通的弹簧振动有什么区别？
🎓
简单说，它是弹簧上粒子的"量子力学版本"。经典的弹簧可以有任何能量，但在量子世界里，能量是离散的，遵循$E_n = \hbar\omega(n+\frac{1}{2})$的形式，其中$n=0,1,2...$。这个模拟器的上方滑块可以改变量子数$n$，你会看到对应的"波函数"形状随之变化。
🙋
哇，即使在$n=0$时也有$\hbar\omega/2$的能量？它不是零？还有，图表里同时显示波函数和概率密度，这两个有什么区别？
🎓
完全正确！这就是"零点能"，是量子力学的一个重要特征，表示粒子无法完全静止。概率密度$|\psi|^2$表示在位置$x$找到粒子的概率大小。例如，在基态($n=0$)中，概率密度呈钟形，粒子最可能在中心附近。但当$n$增大时，概率密度的峰会向两端移动，这就是"对应原理"的体现——量子结果逐渐接近经典结果。
🙋
我看到左下角有"不确定性"的显示。改变质量$m$或角频率$\omega$时会发生什么？
🎓
好观察！不确定性原理$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$说的是位置和动量的不确定度乘积有下限。试试在模拟器中增大质量$m$——你会看到波函数变窄，$\Delta x$变小，但同时$\Delta p$变大，乘积保持不变。反过来，增大$\omega$使势井变窄，粒子的位置范围$\Delta x$自然也会缩小。自己动手试试看！
常见问题
波函数图表中的"实部""虚部""概率密度"各表示什么？
"实部"和"虚部"是波函数ψ(x)的复数成分，包含量子态的位相信息。"概率密度"是|ψ(x)|²，表示粒子在位置x出现的概率。可观测的物理量是概率密度。
增大量子数n时，波函数形状如何变化？
随着量子数n增大，波函数的零点（零交叉）数量增加到n个，幅度也增大。波函数逐渐接近经典谐振子的行为，概率密度在边缘出现"经典区域"的特征。
改变质量m或角频率ω时，能级如何变化？
能级由$E_n = \hbar\omega(n+1/2)$给出，因此增大$\omega$会使能级间距变宽，改变$m$则不影响能级间距（但会改变波函数的空间分布）。
这个模拟器的结果能否应用于实际的分子振动？
可以。二原子分子的振动和晶体中原子的格子振动在低能区都可以用量子谐振子模型近似。但对高励起态需要注意非谐性的影响。
实际应用
分子振动分析： 在二原子分子中，原子间的结合键常被视为弹簧，这种近似广泛应用。红外分光法测得的分子振动谱对应于量子数$n$的跃迁，表现为特定光子的吸收和发射。
固体物理学（格子振动）： 结晶体中的原子在平衡位置周围振动，其量子化能量称为"声子"。固体的比热、热传导等物性可通过将其建模为谐振子集合来解释。
量子光学： 在电磁场的量子论中，每个频率模式的场等价于谐振子。激光和量子纠缠态的理解都基于这个基础模型。
CAE和分子动力学模拟： 复杂分子或材料的模拟中，谐振子势是原子间相互作用最简单的近似，特别是在处理平衡位置附近的小振动时。
常见误区和注意事项
首先要注意，波函数$\psi(x)$本身不能直接观测，观测的是概率密度$|\psi(x)|^2$。有人看到图表上$\psi(x)$取负值就想"概率怎么会负数？"——实际上那是振幅，不是概率。概率密度总是非负的。
其次，参数设置的技巧。同时增大质量$m$和角频率$\omega$时，特征长度$x_0 = \sqrt{\hbar/(m\omega)}$会迅速缩小，导致波函数在图上看起来像一个点。例如，若$m$取质子质量$1.67 \times 10^{-27}$ kg，$\omega$取$1 \times 10^{16}$ rad/s，则$x_0$约为飞米量级$6 \times 10^{-13}$ m，在默认显示范围内会看不清。这时应该缩小$x$的显示范围（如$-2x_0$到$2x_0$）才能看清形状。
还有一个实际陷阱：很多人误以为基态($n=0$)在经典意义上是静止状态。但量子的基态有零点能，粒子始终存在"涨落"（不确定性）。忽视这一点在设计纳米器件时可能导致极低温下性能预测偏差。