球的径向热传导模拟器

极低温储罐、液化天然气球形罐：液氢、液氮储存杜瓦瓶、-162 ℃ 液化天然气 Moss 型球形罐都是这个球壳热传导问题的直接应用。罐内壁低温，外壁外气温，中间有多层真空隔热（MLI）或珍珠岩填充层。设计现场的关键指标是"单位时间蒸发百分率（煤气化率）"，通过 Q = ΔT/R_th 反推保温材的热导率和厚度。本工具的内半径感度图能大致显示增加容量（增大 r₁）如何影响单位体积热损失。

压力容器、核反应堆安全壳：球形同体积外表面积最小，内压应力分布最均匀，高压气体罐和某些核反应堆安全壳采用球形。事故工况传热分析时，内侧高温高压流体、外侧空气或冷却水，边界条件用同样的热阻网络（各层热阻串联求和）。多层结构（钢、隔热材、混凝土）时，分别计算 R_th 然后加总，这是基本做法。

球形保温材、催化剂粒子、电子器件发热分析：催化剂球形颗粒、蓄热球、半导体封装内焊珠、甚至冰淇淋勺子这样的"球形物体"温度响应，首先用这个定常解做初步评估。从半径和热导率的组合推断热时常 τ ≈ ρcr²/k 的量级，判断"秒级升温还是时间级"，再进瞬态分析，这是标准流程。

地球和行星科学：地球内部热输运、行星冷却模型、月球和冰质天体地下海温度评估都用球壳传导公式作出发点。实际上涉及对流、辐射、潜热、内部发热，但首先得估"假如纯传导，行星表面要放散多少瓦特"，然后判断对流是否需要。研究人员的电子表格第一行往往就是 R_th = (r₂−r₁)/(4πkr₁r₂) 这个式子。

最大陷阱是"球的热阻公式与平板、圆筒混淆"。R = (r₂−r₁)/(4πkr₁r₂) 只对球形，平板 R = L/(kA) 和圆筒 R = ln(r₂/r₁)/(2πkL) 形式完全不同。同厚度下，球因为 r₁r₂ 在分母，大半径时阻值更小。多层伝热网络设计时，若各层都用平板"面积恒定"会双向出错：薄层用平板会低估、厚层会高估。必须按形状选对应的阻值公式。

其次，"内外表面温度边界条件不含实际对流和辐射"。本工具是纯传导模型，用户直接指定内外壁温。现实中知道"内液温"和"外气温"，但壁面温度由对流系数 h_in, h_out 决定，是未知量。实际热流要把内对流阻 1/(h_in·A_in) 和外对流阻 1/(h_out·A_out) 与本式的 R_th 串联。忽视这点，本工具值会偏大（只算壁内传导）。用作"理智检验"时要心里有数。

最后，"热导率 k 误认为常数"。实际保温材温度依赖性很强，聚氨酯泡沫和真空多层在低温时性能快速变化，高温时辐射成分按温度三次方增长，使得"表观 k"剧烈变化。极低温设备设计时用"温度范围积分有效 k"，不用中点温度单值。本工具固定 k 时，应取内外温度中点附近的 k 值作第一近似，精细设计务必查材料温度曲线。