默认值：f = 1 MHz、σ = 5.96×10⁷ S/m（铜）、μ_r = 1、R = 1.00 mm。真空磁导率 μ_0 = 4π×10⁻⁷ H/m。本工具使用 R ≫ δ 的高频近似 R_ac/R_dc ≈ R/(2δ)。
圆形＝半径 R 的铜线断面／颜色＝电流密度 |J| ∝ exp(-(R-r)/δ)（红＝高，蓝＝低）／虚线圆＝集肤深度 δ 位置／箭头标注 R 与 δ。δ ≪ R 时电流集中在表面薄层。
横轴＝log₁₀(f) [3〜9]／纵轴＝log₁₀(δ in μm)／橙线＝δ ∝ 1/√f 直线关系／黄圆＝当前 (f, δ)／绿水平线＝导线半径 R；交点为 δ=R 临界频率 f_R。
集肤效应是交流电流集中于导体表面附近的现象。由 Maxwell 方程组（特别是 Faraday 定律）推导出以下公式描述。
良导体的集肤深度：
$$\delta = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$$
圆形导体的 AC/DC 电阻比（R ≫ δ 高频近似）：
$$\frac{R_{ac}}{R_{dc}} \approx \frac{R}{2\delta}$$
集肤深度等于导线半径的临界频率：
$$f_R = \frac{1}{\pi \mu \sigma R^2}$$
$\mu = \mu_0 \mu_r$ 为磁导率，$\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ H/m；$\sigma$ 为电导率 [S/m]，$f$ 为频率 [Hz]，$R$ 为圆形导体半径 [m]。$\delta$ 是电流密度衰减至表面值 1/e 的深度，频率超过 $f_R$ 后集肤效应引起的电阻增加变得显著。
集肤效应模拟器是什么
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电力工程书上说「高频时即使是粗铜线，电阻也会变大」，感觉违背直觉。导线越粗电流通道越宽，电阻应该更低才对，为什么高频反而相反？
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好问题。这就是「集肤效应」：交流电流随频率升高越来越集中于导体表面附近。原因是导体内部的磁通——电流随时间变化时内部产生磁通，按 Faraday 定律感应出涡电流，将原电流从中心向外推。结果电流密度从表面按 exp(-x/δ) 衰减，特征长度 δ = 1/√(πfμσ) 称为集肤深度。铜在 1 MHz 时 δ ≈ 65 μm，所以即使是 1 mm 半径的铜线，实际有效截面也只是外侧薄薄一层。
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用本工具默认值（f = 1 MHz、铜、半径 1 mm）算出 R_ac/R_dc = 7.67 倍，这在 RF 电路里算正常吗？
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这正是 RF 现实。AM 广播频段（约 1 MHz）使用 AWG 18 铜线（半径 0.5 mm）时损耗也增加 7〜8 倍。这是天线 Q 值降低的元凶，为提高效率会用 Litz 线（细绝缘线撚合成束，每股半径小于 δ）。在本工具中将 R 缩到 0.5 mm，R_ac/R_dc 会下降（细线越薄受集肤效应的不利越小）。实际中将 100〜400 股撚合后并联成粗电缆。
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将 μ_r 滑块拉高后 δ 急剧变小，这对应什么物理场景？
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将 μ_r 从 1（铜，非磁性）改为 1000（铁）时 δ 缩小约 √1000 ≈ 32 倍。这适用于电流流过铁或硅钢板内部的情形，对变压器铁芯与电动机硅钢片设计很重要。铁的 σ ≈ 1×10⁷ S/m 低于铜，但 μ_r 为 500〜2000，所以 50 Hz 时 δ 也只有 0.5〜1 mm。因此铁芯由 0.35 mm 薄硅钢片绝缘叠片，让每层内 δ ≈ 板厚，将涡流损耗最小化。在本工具中试 σ = 1.0×10⁷、μ_r = 1000、f = 50 Hz（log F = 1.7）可以验证。
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电力系统 50/60 Hz 这么低的频率，也会出现集肤效应问题吗？
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导体足够粗时就有问题了。送电用铜母线 R = 10 mm 时 f_R = 1/(πμσR²) ≈ 42 Hz，商用频率已落在 δ ≈ R 区域。本工具试 R = 10 mm、f = 50 Hz（log F = 1.7），R_ac/R_dc 增加 1.5〜2 倍。因此 154 kV 以上超高压母线使用空心铜/铝管，或 ACSR（钢芯铝绞线）撚合细股保持有效截面。同样的物理在 HVDC 海底电缆中不存在（DC 时 δ = ∞），只有 AC 海底电缆才受直径限制。
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近年来开关电源用 1 MHz〜数 MHz 高频 PWM，那变压器绕组是怎么设计的？
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好问题。1 MHz 时铜的 δ = 65 μm，所以标准做法是用 AWG 38（直径约 100 μm）撚合 50〜200 股的 Litz 线。再高频（5〜10 MHz）的 GaN/SiC 开关电源中 δ 缩到 20〜30 μm，需要 AWG 44（50 μm）超细 Litz 线，或将 PCB 铜箔图形（厚 35 μm）多层堆叠。本工具试 f = 5×10⁶ Hz（log F = 6.7）确认 δ，是选择股线径的起点。集肤效应至今仍是功率电子的核心课题。
常见问题
集肤深度公式 δ = 1/√(πfμσ) 是怎么来的？
从 Maxwell 方程组（Ampère 与 Faraday 定律）出发，结合良导体近似 σ ≫ ωε，导出导体内部 E 的波动方程，可得解 E(x,t) = E_0 exp(-x/δ) cos(ωt - x/δ)，其中 δ = √(2/(ωμσ)) = 1/√(πfμσ)（ω = 2πf）。δ 即「电场/电流密度衰减至表面值 1/e（≈ 37%）的深度」，振幅与相位以相同特征长度变化，导体内的半波长为 2πδ。因此表皮层内的电流分布并非简单的指数衰减，而是振幅 exp(-x/δ) × 相位 cos(x/δ - ωt) 的合成。本工具仅可视化振幅部分；严格说相位信息也影响电流方向。
R/(2δ) 的 AC/DC 电阻比近似何时适用？
仅在 R ≫ δ 的高频极限（严格说 R/δ > 3 左右）下准确。低频时（R < δ）电流几乎均匀分布，R_ac/R_dc ≈ 1，此时 R/(2δ) 远小于 1 是非物理的。严格解使用 Kelvin 函数 ber(x), bei(x), ber'(x), bei'(x) 的圆柱函数解：R_ac/R_dc = (kR/2) × [ber(kR)·bei'(kR) - bei(kR)·ber'(kR)] / [ber'(kR)² + bei'(kR)²]（k = √2/δ）。本工具只显示高频近似，因此在 δ > R/3 的低频/细线区域会低估。需要精确分析时用 MATLAB 的贝塞尔函数，或 COMSOL、ANSYS Maxwell 等有限元软件的频域求解器。
集肤效应与邻近效应（proximity effect）有什么区别？
集肤效应是「单独导体内部自感应使电流集中于表面」的现象；邻近效应是「相邻其他交流导体的磁场使电流分布偏移」的现象。两者都随频率增加损耗，但对策不同：集肤效应对策是将导体变细（Litz 线每股小于 δ），邻近效应对策是优化导体间距或减少绕组层数。变压器绕组中两者同时存在，因此用 Dowell 一维分析（1966）计算频率相关电阻。仅将股线绑成一束不撚时集肤效应减弱但邻近效应反而恶化；现代 Litz 通过合适的撚距可同时抑制两者。
集肤效应与电磁屏蔽、感应加热有什么关系？
集肤效应直接关系到其他电磁应用。(1) 电磁屏蔽：导体板厚度 t 取 3〜5δ 时，入射磁波衰减至 exp(-t/δ) ≈ 5% 以下。50 Hz 电力频率磁屏蔽用厚铁或坡莫合金（δ = 1〜10 mm），GHz RF 屏蔽 35 μm 铜箔（δ ≈ 2 μm）就足够。(2) 感应加热（IH 厨具、表面热处理）：让被加热物表面的 δ 层内涡流发热。30 kHz 加热铁锅时 δ ≈ 0.05 mm，表面集中急速加热。低碳钢表面淬火也是同一原理。本工具用 σ = 1×10⁷（铁）、μ_r = 500、f = 30 kHz 可以确认 IH 时的 δ。电磁感应本身就是集肤效应的应用。
实际应用
电力系统母线与输电线设计： 即使在 50/60 Hz 商用频率下，半径超过 10 mm 的粗铜/铝导体也会进入 δ ≈ R 区域，集肤效应引起的电阻增加显现。154 kV 以上超高压母线使用空心管导体或 ACSR（钢芯铝绞线）保持有效截面、避免集肤效应。HVDC（高压直流）海底电缆则因 DC 无集肤效应（δ = ∞），可用更细导体达成相同载流能力，近年欧洲与亚洲的大型输电项目大量采用。本工具试 R = 10 mm、f = 50 Hz 可以确认商用频率下集肤效应已处于临界。
开关电源与功率电子： 近年 GaN/SiC 功率器件将开关频率从 100 kHz 推至 1〜10 MHz。1 MHz 下铜的集肤深度为 65 μm，因此变压器与电感绕组通常用股径 25〜50 μm（AWG 40〜45）的 Litz 线。5 MHz 以上时还会用 PCB 铜箔（35 μm 厚）多层并联的「平板绕组」，或铜网/铜编织线。本工具在 f = 1〜10 MHz 范围内可以理解为何功率电子大量依赖超细 Litz 线。这与电动汽车快充与光伏逆变器效率提升直接相关。
RF 与微波工程： UHF〜微波频段（100 MHz〜数十 GHz）下铜的集肤深度缩到 1〜10 μm，因此同轴电缆、波导、连接器内表面经研磨与镀银（σ_Ag = 6.30×10⁷ S/m）以最小化有效电阻。表面粗糙度若大于 δ，电流路径变长导致插入损耗增加，所以 5G 基站天线与卫星高频段滤波器要求 Ra < 0.2 μm 的超精研磨。本工具在 σ = 6.30×10⁷、接近最高频率时可以看到约 1 μm 量级的 δ，这就是微波工程表面处理规范的物理基础。
感应加热与 IH 厨具： IH 厨具用 20〜100 kHz 高频磁场在铁锅上感应涡流，靠表皮层内电阻损耗发热。铁（σ ≈ 1×10⁷ S/m, μ_r ≈ 500）在 30 kHz 时 δ ≈ 50 μm，锅底薄层集中发热，热效率可达 90% 以上。同原理也用于工业表面淬火（高频淬火）：在 10〜500 kHz 下使汽车轴与齿轮齿面表面硬化。本工具试 σ = 1.0×10⁷、μ_r = 500、f = 50 kHz 可以直观理解感应加热的渗透深度如何决定。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为，「DC 电阻低的粗导体在 AC 下也必然电阻低」 。实际上集肤效应导致 AC 电阻随频率平方根增加，特别是在 R ≫ δ 的高频区域，电阻可达 DC 的数倍到数十倍。例如 50 Hz 下半径 20 mm 铜母线 R_ac/R_dc ≈ 1.5，1 MHz 下半径 1 mm 铜线达到 7.7 倍。设计时必须按预期频率计算 AC 电阻，必要时采用 Litz 线、空心导体或镀银等对策。「粗就安全」的 DC 直觉在 AC 高频区域会失灵。
其次常见的是「将集肤深度与半导体掺杂层或氧化层厚度混淆」 。集肤深度是导体内电磁波的特征长度，与半导体器件的物理尺寸独立。如功率 MOSFET 的 n+ 漏极层（10〜100 nm）与栅氧化膜（10〜100 nm）远小于任何实用 δ，其中的集肤效应可忽略。但键合线与引线框架（厚 100 μm〜1 mm）在 100 MHz 以上工作时受集肤效应支配，表现为封装寄生电阻的频率依赖性。「器件尺寸」与「导体尺寸」必须概念上分开。
最后是「只要用 Litz 线就完全消除集肤效应」的过度信任 。Litz 线只在「每股半径远小于设计频率下的 δ」时有效。AWG 38（直径 100 μm，半径 50 μm）股线在 1 MHz 时 δ = 65 μm > 50 μm 还可以，但在 5 MHz 时 δ = 29 μm < 50 μm 就不够了。更糟的是若「撚合结构」对频率不合适（撚距与波长共振），内部股线会周期性切换并联/串联连接，产生异常损耗。设计时必须明确使用频率上限，并同时优化股径与撚距。