系统矩阵 A 的各元素。A=[[a11,a12],[a21,a22]] 决定状态 x 的自由运动（固有运动）。
输入向量 B=[b1,b2]。决定输入 u 沿哪个方向推动状态。
从原点伸出的两支箭头是能控性矩阵的列向量 B 和 AB。若二者线性无关，绿色平行四边形可张成整个平面；若平行（线性相关），则重叠在红色直线上，系统不能控。
$$\dot{x}=Ax+Bu,\qquad \mathcal{C}=\begin{bmatrix}B & AB\end{bmatrix}$$
状态方程与能控性矩阵 𝒞。对于二阶系统，𝒞 是把 B 和 AB 作为列排成的 2×2 矩阵。AB 是矩阵 A 与向量 B 的乘积。
$$\text{能控}\iff \operatorname{rank}\mathcal{C}=n$$
卡尔曼能控性判据。n 为状态的阶数（本工具 n=2）。若 rank 小于 n 则不能控。对 2×2 而言，det(𝒞)≠0 与 rank(𝒞)=2 等价。
$$\det\mathcal{C}=b_1(AB)_2-b_2(AB)_1$$
2×2 能控性矩阵的行列式。对 n 阶系统，一般构造 𝒞=[B, AB, A²B, …, Aⁿ⁻¹B] 的 n×n 矩阵并考察其秩。
什么是能控性
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“能控性”这个词在控制工程课上出现过……粗略地说，它到底是一种什么性质呢？
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一句话概括，就是“仅靠输入 u，能否把系统的状态 x 自由地移动到想去的位置”这一性质。比如考虑小车上立着倒立摆的系统，状态有四个：小车位置、速度、摆角、角速度。如果系统能控，仅凭推小车的力就能把这四个量全部调到任意值；反之若不能控，无论怎么努力，总会剩下触碰不到的状态。
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会剩下触碰不到的状态——那要怎么分辨呢？这个工具里有 A 和 B 的滑块。
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这时就轮到“能控性矩阵”𝒞 登场了。对二阶系统，𝒞=[B AB]，即把输入向量 B 和它左乘一次 A 得到的 AB 并排组成的 2×2 矩阵。B 表示输入直接推动的方向，AB 表示一步之后影响传播到的方向。这两个向量若能张成整个平面，系统就能控；张不成则不能控。右上方的画布展示的正是这两支箭头。
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原来如此，是两支箭头！那“能否张成平面”具体是用行列式来判断吗？
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对，2×2 的情形直接算 det(𝒞) 最快。若 B 与 AB 线性无关，行列式为非零值，秩为 2，即能控；若 B 与 AB 平行（线性相关），行列式恰好为 0，秩降到 1，系统不能控。把左侧的 b1 保持默认值 0、b2 保持默认值 1，就有 AB=[1,-2]，det=-1。因为不为 0，这个系统能控——结果卡片上应该会这样显示。
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行列式不为 0 就行，这一点我明白了。不过 |det| 的数值本身也有意义吗？卡片里有一项“能控性强度”。
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问得好。能控还是不能控是“是否为 0”的 Yes/No 判定，但在实际工程中，“离 0 有多近”同样重要。|det| 很小的系统，纸面上虽然能控，数值上却几乎不能控：反馈增益会变得异常巨大，导致对噪声敏感、执行器饱和等问题。因此把 |det| 当作“能控性强度”的参考，就能大致判断设计是否现实。严格来说应使用格拉姆矩阵（Gramian）的奇异值，但要建立直觉，用 |det| 就足够了。
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系统能控就可以自由地进行“极点配置”，这是最大的好处。适当选择状态反馈 u=-Kx 的增益 K，就能把闭环系统的极点（特征值）放到任意位置。也就是说，即使是不稳定的系统，也能按预期设计响应速度和阻尼。反过来，如果存在不能控的模态，其极点无法通过 K 移动；若这个模态恰好不稳定，状态反馈无论如何都无法使系统稳定。所以控制系统设计的出发点，就是先检查能控性。
常见问题
什么是能控性？如何判定？
能控性是指“给定适当的输入 u(t)，能否在有限时间内把状态 x 移动到任意点”的性质。对 n 阶线性时不变系统 ẋ=Ax+Bu，构造能控性矩阵 𝒞=[B, AB, A²B, …, Aⁿ⁻¹B]，若其 rank 等于 n 则判定为能控（卡尔曼能控性判据）。本工具处理二阶系统，故 𝒞=[B AB]，只要其行列式不为 0（rank=2）即能控。
能控性矩阵的行列式变为 0 时会发生什么？
当 det(𝒞)=0 时，列向量 B 与 AB 位于同一直线上（线性相关），能控性矩阵的秩从 2 降到 1 以下。这意味着输入 u 只能驱动状态空间中的部分方向，即系统不能控。从物理上讲，此时存在无法由输入激励的模态，该方向的状态只能保持初值，或任由系统的固有运动支配。在本工具中，B 与 AB 会重叠显示在红色直线上。
能控性矩阵的行列式与稳定性有关系吗？
没有直接关系。能控性关注“能否用输入驱动状态”，稳定性关注“放任不管是否会发散”，是两种不同的性质。存在不能控但稳定的系统，也存在能控但不稳定的系统。不过需要注意：若不能控的模态不稳定，就无法通过状态反馈使系统稳定。只要系统能控，就可以任意配置极点，把不稳定极点自由地移到左半平面。
能控性矩阵行列式的大小有意义吗？
|det(𝒞)| 离 0 越远，说明列向量 B 与 AB 越接近正交、彼此独立，可以粗略地作为“能控性强度”的参考。|det| 很小（接近 0）的系统在数值上接近不能控：反馈增益可能变得极端巨大，微小的模型误差就会使系统实质上不能控。严格的指标是能控性格拉姆矩阵的最小奇异值，本工具的 |det| 是一个直观的近似指标。
实际应用
倒立摆·小车系统的镇定： 控制工程的经典对象倒立摆，用“位置、速度、角度、角速度”四阶状态建模。设计的第一步就是确认该系统是否能控。若能控，就可以用状态反馈配置极点，把不稳定的“倾倒”模态移到左半平面，使摆保持直立。本工具的二阶系统正是以最小配置体验这一判定逻辑。
多输入系统的执行器布置： 在飞机姿态控制和四轮独立转向车辆中，把执行器（输入 B 的方向）布置在哪里会左右系统的能控性。设计阶段会针对多个 B 候选比较能控性矩阵的秩和 |det|，选择能以足够“强度”驱动所有模态的布置。传感器或执行器发生单点故障时系统是否会陷入不能控，这类容错设计也使用同样的判定。
现代控制（LQR·极点配置）的前提检查： 基于 LQR 或极点配置的状态反馈设计，以对象能控（至少可镇定）为前提。MATLAB 的 ctrb / rank、Python python-control 的 ctrb 等，工程现场的工具链一定从能控性判定开始。若系统包含不能控的模态，设计者对该模态无从下手，需要重新考虑输入的选取或建模方式。
过程控制·电力系统： 在化工厂的温度·浓度控制、电力系统的频率·电压控制等大规模系统中，能控性同样是判断“某个控制输入能否把整个系统引导到期望状态”的基础。把能控子空间与不能控子空间分离（卡尔曼分解），只把设计资源集中于可以控制的部分，这类策略也直接建立在能控性之上。
常见误解与注意事项
首先最常见的是“混淆能控性与稳定性” 。能控性关注“能否用输入驱动状态”，稳定性关注“切断输入后状态是否不发散”，是完全不同的两种性质。能控但不稳定的系统（如倒立摆）极为常见，控制真正的用武之地恰恰在这里；反之，不能控但稳定的系统同样存在。请理解：本工具的 det(𝒞) 是能控性的指标，与 A 的特征值（稳定性）是两回事。即使 det(𝒞)≠0，也并不意味着系统稳定。
其次是“误以为数值上能控就没有实用问题” 。即使 det(𝒞) 不为零，非常接近零的系统也“几乎不能控”。在这种状态下强行配置极点，反馈增益 K 会变得极端巨大，放大测量噪声，让执行器立即饱和，并对模型误差极度敏感。即便纸面上 rank=2，若 |det| 很小，也可能“设计得出来但现实中根本不能用”。工程实务的铁则是：能控性不仅要看 Yes/No，还要看“强度”。
最后是“对能控性矩阵的数值秩计算过度信任” 。能控性矩阵 𝒞=[B, AB, …, Aⁿ⁻¹B] 在阶数 n 变大时，Aⁿ⁻¹B 项会大到（或小到）相差好几个数量级，矩阵的条件数变得极差。因此对高阶系统，不应使用行列式或朴素的秩计算，而要用奇异值分解（SVD）评估有效秩，或采用数值稳定的能控性格拉姆矩阵、阶梯形（staircase form）变换等方法。本工具是用于概念理解的二阶系统，这一问题不会显现；但在实际系统中，不要简单相信“算出秩=n 就能控”，还应确认条件数。
具体计算示例
对直流电机控制系统（a11=0, a12=1, a21=-10, a22=-5, b1=0, b2=1）：能控性矩阵为 [0 1; 1 -5]，det(𝒞)=-1，rank(𝒞)=2，完全能控。另一方面，改为 a21=0, a22=-5 时矩阵为 [0 1; 1 0]，det(𝒞)=-1，仍然能控；但改成 b1=1, b2=0 后矩阵为 [1 0; 0 -5]，det(𝒞)=-5。对串联RLC滤波器（a11=0, a12=1, a21=-1, a22=-2, b1=0, b2=1），det(𝒞)=-1（能控）；若两个输入方向相同，则 det(𝒞)=0（不能控）