半无限大固体瞬态导热模拟器 — 温度分布与渗透深度计算

参数设置

初始温度 Ti

°C

热量到来前整个固体的温度

表面温度 Ts

°C

时刻零表面突变到的温度

材料

自动设置热扩散率 α 与导热系数 k

深度 x

想要求温度的距表面的距离

经过时间 t

表面温度突变后经过的时间

计算结果

—

指定深度温度 T (°C)

—

无量纲温度 θ

—

相似变量 η

—

渗透深度 δ (mm)

—

表面热流密度 (kW/m²)

—

热扩散率 α (×10⁻⁶ m²/s)

—

半无限大固体的温度渗透 — 动画

左侧为受热表面。温度分布从表面的 Ts 向内部的 Ti 下降，随时间推移热量渗透得越来越深。颜色表示温度高低。

温度分布 T(x) — 当前时刻

指定深度温度 vs 经过时间

理论与主要公式

$$\frac{T(x,t)-T_s}{T_i-T_s}=\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)$$

表面在时刻零突变为 Ts 后的内部温度。左边的无量纲温度 θ 等于误差函数 erf，仅由相似变量 η = x/(2√(αt)) 决定。x：深度，t：经过时间，α：热扩散率。

$$\delta\approx 4\sqrt{\alpha t},\qquad q_s=\frac{k\,(T_s-T_i)}{\sqrt{\pi\,\alpha t}}$$

热渗透深度 δ（温度变化大致到达的深度）与表面热流密度 qs。k：导热系数。δ 与 qs 均由 √t 支配，而 α 决定热量扩散的快慢。

什么是半无限大固体的瞬态导热

🙋

"半无限大固体的瞬态导热"，这名字也太唬人了……它到底说的是什么情况呢？

🎓

没名字那么难。设想一个寒冬清晨，你把热水洒在厚厚的混凝土地面上。表面立刻变热，但地面深处仍然冰凉。这种"只有一侧表面温度发生变化，而另一侧远得影响还没传到"的情形，理想化之后就是半无限大固体。"瞬态"只是说温度随时间一直在变化。

🙋

原来如此。可是内部温度到底怎么算呢？位置和时间都是变量，听起来非常复杂。

🎓

这正是这个问题的精妙之处。你不必分别追踪深度 x 和时间 t——它们可以合并成一个"相似变量"η = x/(2√(αt))。于是无量纲温度就是 θ = erf(η)，一个误差函数搞定。当你拖动左边的深度和时间滑块时，工具就是在计算这个 erf 来得到温度。在默认的 50mm 深度、600 秒下，η≈0.30，温度约为 141°C。

🙋

这么说只要 θ 和 η 相同，温度状态就相同？那"渗透深度 δ"又是什么呢？

🎓

对，这正是"相似"的含义。δ ≈ 4√(αt) 是一个参考深度——"热量已经到达这么深"。比 δ 更深的地方，温度仍基本保持在初始温度。有趣的是 δ 按时间的平方根推进。多等4倍时间，深度也只翻一倍。所以即使你觉得"再等一会儿芯部就会热透"，实际上进展非常缓慢。换成铝再看 δ 滑块，它比钢更快、更深地传播。

🙋

速度真的很依赖材料啊。我还很好奇表面热流密度，为什么时间一长它就减小呢？

🎓

它是 qs = k(Ts−Ti)/√(παt)，理论上一开始接近无穷大，随后按 1/√t 衰减。原因很简单：刚加热的表面紧邻的内侧仍是冷材料，温差很陡，热量于是大量涌入。时间一长，被加热层变厚，温差变得平缓，流入的热量减少。在估算淬火冷却速率之类的问题时，这个量非常重要。

🙋

最后一个问题。"半无限大"现实中根本不存在吧。它就不能用于实际的有限物体了吗？

🎓

好问题。诀窍是："只要渗透深度 δ 小于物体的实际厚度，就可以当作半无限大处理"。即使是一面 300mm 厚的混凝土墙，加热几分钟后热量也只到达表面附近，所以半无限大公式可直接套用。一旦 δ 开始超过厚度，远端边界就开始起作用，这时必须改用有限厚度的解（如傅里叶级数）。

常见问题

它指的是只有一侧表面为边界、而另一侧远到（厚度足够大）尚无影响的固体中随时间变化的导热过程。当表面温度在时刻零突然变为 Ts 时，热量会逐渐向内部扩散。温度可用误差函数表示为 T(x,t) = Ts + (Ti − Ts)·erf(x/(2√(αt)))，其中 x 是距表面的深度，t 是经过时间，α 是热扩散率。本工具用该解析解实时计算内部温度。

它是衡量表面温度变化向固体内部传播了多远的参考深度，可用 δ ≈ 4√(αt) 估算。深度大于 δ 的区域，温度仍基本保持在初始温度 Ti（约99%未受影响）。它随时间 t 的平方根推进，时间增加到4倍时渗透深度才翻一倍。半无限大模型仅在该 δ 小于物体实际厚度时才有效。

导热系数 k 表示稳态下材料"传导"热量的能力。而热扩散率 α = k/(ρ·cp) 表示温度变化传播的"快慢"。在瞬态问题中 α 起主导作用，α 越大，温度越快到达内部。例如铝的 α 约为钢的8倍，在相同时间内可加热到深得多的位置。当问到热量本身（如表面热流密度）时，则还需要 k。

表面热流密度为 qs = k(Ts − Ti)/√(παt)，在时刻零为无穷大，随后按 1/√t 衰减。加热初期，表面紧邻的内侧仍是冷材料，温度梯度很陡，于是热量大量涌入；随着时间推移，被加热层逐渐变厚，梯度变得平缓，流入的热量减少。在评估淬火冷却速率或瞬间接触传热时，这个量非常重要。

实际应用

金属热处理与淬火：在钢的表面淬火中，把加热后的零件骤冷时，温度由表面向内部下降的速度决定了组织与硬度。半无限大固体模型用于估算淬火初期近表面区域冷却得有多快、指定深度何时到达目标温度。渗透深度 δ 也可作为零件有效硬化层厚度的参考。

建筑与地下的热：厚混凝土墙和土壤对日照与气温变化而言，恰恰表现为半无限大固体。白天的表面加热渗入墙体多深、地表的季节变化影响到地下几米，都可用该 erf 解估算。它被广泛用作地热利用与热岛评估的基础计算。

瞬间接触与烫伤评估：皮肤短暂接触热金属或热水时的温度上升，在最初几秒内也可作为半无限大固体问题处理。在相同表面温度下，接触热扩散率大的金属（如铝、铜）会更快地把热量送入皮肤，因而更危险。这是烫伤风险评估与防护用具设计的基础。

CAE 分析的验证与初步评估：在进行瞬态导热有限元分析之前，先用该解析解粗略估算"近表面温度何时达到多少度"，可以判断网格与时间步长是否合理。若有限元结果在近表面与 erf 解相差很大，则可作为排查时间步长过粗或边界条件错误的合理性检查。

常见误解与注意事项

最大的陷阱是"对有限厚度物体一直套用半无限大模型"。该模型仅在热渗透深度 δ ≈ 4√(αt) 小于物体实际厚度时才有效。一旦 δ 到达厚度，远端边界的影响就会出现，erf 解会预测出比实际更高的温度。取较长经过时间时，务必检查 δ，一旦它超过物体厚度，就要改用有限厚度的解（傅里叶级数或数值解）。本工具会在判定文中提示这一点。

其次，"弄错边界条件"。这个公式适用于表面温度瞬间固定为常值 Ts（第一类边界条件）的情形。实际加热可能是表面以恒定热流密度加热，或通过对流与周围流体换热（第三类边界条件，用毕渥数描述），二者给出的温度分布完全不同。请先确认表面温度是否真能视为恒定。若对流占主导，则需要集总热容法或基于毕渥数的解，而非误差函数。

最后，"混淆热扩散率 α 与导热系数 k"的误解。在瞬态问题中，决定温度多快到达某深度的是 α 而非 k。混凝土的 k 约为木材的10倍，但 α 之差并没那么大，因此温度渗透速度的差异远不及 k 之比。另一方面，对表面热流密度 qs 这类问"单位时间热量"的量，k 则直接起作用。请注意：你想求哪个量，所用的物性参数也随之不同。