半无限固体的非定常热传导模拟器

金属表面淬火·热处理：大钢坯或铸锭的表面急冷或急热时，热只深入到表面附近，芯部在短时间内表现得像半无限固体。用误差函数解可以快速估算「表面往下几毫米，经过多少秒后是什么温度」，对淬火硬化层深度预测、残留应力估算、加热冷却时间设置都很有用。

土木建筑的地中温度设计：地面是典型的受日变化和年变化温度波的半无限固体。地中热热泵的埋深选择、冻融深度（冻害防护基础深度）、地下结构物的温度环境，都是用这种非定常热传导思路来评估。混凝土墙、大坝厚躯体受急速温度变化时的温度应力检讨，也是用同样的框架。

接触温度和材料手感：两个物体突然接触时，接触面温度瞬间稳定到某个值，两侧各自按半无限固体响应。金属摸着冷、木头摸着暖，就是热扩散率（更准确说是热浸透率）的差别。铸型、轧辊、模具与高温材料的接触热传达估算的基础，也是这个模型。

CAE事前检讨和验证：做非定常热传导的详细FEM分析之前，先用误差函数解掌握「浸透深度」「中间温度时间」的数量级，就能恰当地设置网格细度和时间步。FEM结果与这个解的偏差太大的话，就是边界条件、材料物性、时间步的设置有问题的信号，很好的检查手段。

最大的陷阱是，「以为半无限固体模型能一直用下去」。这个模型的前提是「热还没传到对面」。随着时间推进，热浸透深度 δ=3.6√(αt) 会不断增长，最终达到物体的实厚度。这时候下面的边界影响就不能忽视了，半无限解就会有误差。实际工作中，「δ 超过物体厚度的一半时就要切换到有限厚度分析」是个标准做法。一定要把本工具的浸透深度和对象物的厚度对比。

其次，「忘了表面温度恒定的边界条件假设」。本工具用的误差函数解，是表面温度阶跃变化后保持不变（第1类边界条件）的解。现实中，表面如果接触空气或流体会对流散热，表面温度就不再恒定，需要用含对流系数的另一种解（用比奥数的解）。表面受热流作用的情况也是另一种公式。边界条件理解错的话，结果会差很多。

最后，「混淆热扩散率 α 和热导率 λ」。决定温度浸透速度的不是热导率本身，而是热扩散率 α=λ/(ρc)。λ 再大，如果密度 ρ 或比热 c 很大，α 就会很小，温度变化就进展缓慢。比如铜的 λ 和 α 都很大，但不锈钢的 λ 中等，α 反而意外地小。比较浸透深度或中间温度时间时，一定要看 α，不要用 λ。另外接触问题中起作用的是 α 不是热浸透率 √(λρc)，这点也容易搞混，要注意。