无线电力传输耦合系数 k·Q值模拟器

Q: 耦合系数 k 和 Q值、kQ 性能指数有什么不同？

k = M/√(L1·L2) 是两个线圈通过磁通结合程度的几何指标，是0～1的无量纲数。Q = ωL/R 是各线圈单独的损耗倒数，表示共振的尖锐度和储存能量与耗散能量的比。kQ 是它们的乘积，是磁共振方式WPT「能达到的最大效率」的主要控制参数。当空心线圈分开时，k会变小，但如果Q高，就能保持大的kQ，因此即使结合弱也能实现高效率的传输。本工具同时显示k、Q、kQ这三个值。

Q: 最大效率 η_max = (kQ)²/(1+√(1+(kQ)²))² 的含义和目标是？

这是MIT的Kurs和Soljacic（2007年）提出的磁共振WPT效率上限公式，在接收端整匹到最优负载时的理论最大效率。kQ=1时η≈38%，kQ=3时为75%，kQ=10时为90%，kQ=100时超过96%。实用线为kQ≥10，Qi充电（85～205 kHz）和SAE J2954（电动汽车WPT，85 kHz）的商用系统设计目标为kQ=20～100。当kQ低于1时效率急剧下降，因此延长距离时的设计课题是如何不让kQ下降。

Q: Qi充电（～10mm）和电动汽车WPT（～200mm）有什么区别？

Qi是用于智能手机的近场耦合（k≈0.5～0.7，距离≪线圈直径），即使Q低也能得到足够大的kQ，因此用低Q的铁氧体+平面线圈就能实现。另一方面，电动汽车WPT中车体下方和地面垫之间的距离为100～250 mm，k下降到0.1～0.3。为了补偿，用Litz线将Q提高到200～500，严格匹配85 kHz的磁共振，确保kQ≈30～60。从本工具的「效率 vs 距离」图可以看出，短距离区域基本平坦的Qi型和缓慢下降的电动汽车型的差异。

Q: Over-coupled / Under-coupled / Critical是什么意思？

Critical（临界耦合）是满足 k = 1/Q_combined 的状态，传输效率最大且频率响应平坦。k小于此值的Under-coupled会导致效率急降（kQ<1区域），k大于此值的Over-coupled会发生共振分裂即频率分割（frequency splitting）。在Over区域，设计频率处的效率会下降，因此采用频率追随控制或LCC补偿电路进行处理。本工具根据当前的k和k_crit=1/Q_c自动判定，在判定栏显示regime。Qi和电动汽车WPT通常在Over-coupled一侧设计，通过共振频率调整来追求最优点。

参数设置

一次侧线圈直径 D₁

二次侧线圈直径 D₂

一次侧匝数 N₁

turns

二次侧匝数 N₂

turns

线圈间距离 d

发送／接收线圈中心之间的同轴距离

工作频率 f

kHz

Qi: 100–205 kHz / SAE J2954 电动汽车: 85 kHz / AirFuel: 6780 kHz

一次侧 Q 值 Q₁

二次侧 Q 值 Q₂

空心Litz线 Q≈200–400，铁氧体装配为 100–200

计算结果

—

一次侧自感 L₁ (μH)

—

互感 M (μH)

—

耦合系数 k

—

合成 Q 值 √(Q₁Q₂)

—

kQ 性能指数 FoM

—

最大效率 η (%)

—

线圈对和磁通耦合 — 共振链路图

左：一次侧（发送）／右：二次侧（接收）线圈。磁通线密度表示耦合系数k，仪表显示最大效率。颜色表示kQ性能指数（绿=高效率／红=低效率）。

传输效率 η vs 线圈间距离 d

kQ 性能指数 vs 最大效率（Kurs–Soljacic 曲线）

理论·主要公式

$$k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}},\qquad \eta_{max} = \frac{(kQ)^{2}}{\left(1+\sqrt{1+(kQ)^{2}}\right)^{2}}$$

耦合系数k和Kurs–Soljacic最大效率。M：互感，L₁,L₂：自感，Q：合成Q值，kQ：性能指数（10以上为实用范围）。

$$Q = \sqrt{Q_1 Q_2},\qquad k_{crit} = \frac{1}{Q}$$

合成Q值和临界耦合k_crit。k < k_crit ：欠耦合（效率下降），k ≈ k_crit ：临界（最优），k > 2k_crit ：过耦合（频率分割）。

$$\omega L = \frac{1}{\omega C},\qquad C = \frac{1}{\omega^{2} L}$$

共振条件和整匹配电容C。ω=2πf。发送和接收都需要整匹到同一共振频率（不整匹会急剧降低效率）。

无线电力传输耦合系数 k·Q值设计

🙋

智能手机只需放在垫子上就能充电的"Qi"，以及最近电动汽车的"从地面垫充电"是怎样的原理？明明没有线连接，电还是能流过，真不可思议。

🎓

可以把它想象成把变压器分成两个，然后把气隙拉大的样子。发电侧线圈用高频电流绕制，就会产生磁通（磁场）向空间散发。接收侧线圈拾取这个磁通，根据法拉第定律就能诱导出电压。"磁共振方式"是把两个线圈都调整到同一频率的共振器，即使隔着空气也能高效地桥接能量。这是MIT的Kurs和Soljacic在2007年提出的，成为了Qi和电动汽车WPT的基础。

🙋

原来如此。但Qi隔着空气也能达到70%、80%的效率呢？我一直以为普通变压器之所以高效是因为用铁心来闭合磁通…

🎓

对，这就是它有趣的地方。本工具中出现的"耦合系数k"，普通变压器（铁心）是0.95～0.99，Qi（空心线圈+铁氧体）是0.5～0.7。电动汽车WPT要让地面和车体间隔15厘米，k就会降到0.1～0.3。但即使这样还能达到高效率，秘密就在"kQ性能指数"。如果把线圈的品质系数Q提高到200～500，即使k很小，也能让kQ达到20～100，最大效率用公式 (kQ)²/(1+√(1+(kQ)²))² 可以超过90%。所以不是"k小=低效"，而是"kQ小=低效"。

🙋

那要是把Q值提得特别高，是不是就能把距离拉到1米、10米那么远？

🎓

理论上是这样，但现实很严酷。提高Q就是要降低损耗电阻R，即使用Litz线（束状线来压制表皮效应），空心线圈的Q也就顶到500。另一方面，距离d越大，k下降得越快。从本工具的"效率 vs 距离"图表可以看出，在d ≈ 线圈半径r那里有一条"悬崖"。kQ一旦低于1，效率就会瞬间崩溃。所以1米以上的中距WPT只能"把线圈做大（r变大）"。电动汽车WPT之所以用50厘米的大垫子，就是这个原因。

🙋

左边的频率滑块从85 kHz拉到6.78 MHz时，有什么会变呢？好像数值没什么变化…

🎓

观察得不错。最大效率的公式 (kQ)²/(...)² 中f没有直接出现，所以k和Q相同的话，效率就是相同的。那有什么不同呢？(1) 整匹配电容C和ω²成反比会急剧变小（85 kHz时是nF量级，6.78 MHz时是pF量级），(2) 高频更容易提高Q但寄生容量、人体吸收、规制（FCC、EMC）更严格，(3) Qi/电动汽车分别在85～200 kHz，AirFuel在ISM波段6.78 MHz…就是这样。本工具中改变f时，右边"整匹配电容"会变，能体感到电容选择的严酷性。

🙋

"过耦合""临界""欠耦合"这个判定是什么意思？过耦合好像意思是耦合强，应该很好吧，可为什么判定栏里说"临界"是"最优"…

🎓

这是共振WPT的一个特点。临界耦合k = 1/Q时效率最大，频率响应也很平坦。k小于这个值的欠耦合会导致kQ下降从而效率下降（kQ<1区域），k大于这个值的过耦合会发生"共振分裂"。设计频率处形成一个谷，效率会下降。Qi和电动汽车WPT是在过耦合一侧动作，通过动态追随共振频率，或者用LCC补偿电路重新整匹。默认值k=0.26、Q=200时，k_crit=1/200=0.005，k是50倍以上，所以是"过耦合"。为了实现理论上的最大效率96%，在实机中频率追随控制基本是必须的。

常见问题

k = M/√(L1·L2) 是两个线圈通过磁通结合程度的几何指标，是0～1的无量纲数。Q = ωL/R 是各线圈单独的损耗倒数，表示共振的尖锐度和储存能量与耗散能量的比。kQ 是它们的乘积，是磁共振方式WPT「能达到的最大效率」的主要控制参数。当空心线圈分开时，k会变小，但如果Q高，就能保持大的kQ，因此即使结合弱也能实现高效率的传输。本工具同时显示k、Q、kQ这三个值。

这是MIT的Kurs和Soljacic（2007年）提出的磁共振WPT效率上限公式，在接收端整匹到最优负载时的理论最大效率。kQ=1时η≈38%，kQ=3时为75%，kQ=10时为90%，kQ=100时超过96%。实用线为kQ≥10，Qi充电（85～205 kHz）和SAE J2954（电动汽车WPT，85 kHz）的商用系统设计目标为kQ=20～100。当kQ低于1时效率急剧下降，因此延长距离时的设计课题是如何不让kQ下降。

Qi是用于智能手机的近场耦合（k≈0.5～0.7，距离≪线圈直径），即使Q低也能得到足够大的kQ，因此用低Q的铁氧体+平面线圈就能实现。另一方面，电动汽车WPT中车体下方和地面垫之间的距离为100～250 mm，k下降到0.1～0.3。为了补偿，用Litz线将Q提高到200～500，严格匹配85 kHz的磁共振，确保kQ≈30～60。从本工具的「效率 vs 距离」图可以看出，短距离区域基本平坦的Qi型和缓慢下降的电动汽车型的差异。

Critical（临界耦合）是满足 k = 1/Q_combined 的状态，传输效率最大且频率响应平坦。k小于此值的Under-coupled会导致效率急降（kQ<1区域），k大于此值的Over-coupled会发生共振分裂即频率分割（frequency splitting）。在Over区域，设计频率处的效率会下降，因此采用频率追随控制或LCC补偿电路进行处理。本工具根据当前的k和k_crit=1/Q_c自动判定，在判定栏显示regime。Qi和电动汽车WPT通常在Over-coupled一侧设计，通过共振频率调整来追求最优点。

实际应用

智能手机·穿戴设备的Qi充电：无线电力联盟（WPC）制定的Qi标准在100～205 kHz、5～15 W下工作，基本安装在所有智能手机和智能手表上。距离仅2～5 mm、k≈0.5～0.7很高，低Q的铁氧体背板平面线圈也能输出70～80%的效率。最新的Qi v2和Apple MagSafe用磁石进行位置对齐，减少k的波动，提高整匹精度。

电动汽车无线给电（SAE J2954）：BMW 530e iPerformance、梅赛德斯-奔驰、特斯拉等正在进行实车试验的电动汽车WPT，在85 kHz、3.7～11 kW（将来22～50 kW）的磁共振方式下工作。地面GA（地面组件）和车体VA（车体组件）之间隔100～250 mm，k下降到0.1～0.3。通过Litz线的高Q线圈和LCC补偿网络来补偿，力争从电网到电池的效率达到90%级。技术由WiTricity、InductEV（原Momentum Dynamics）、Plugless等提供。

医疗用体内设备·工业机器人：心脏起搏器和人工心脏辅助泵（LVAD）的经皮电力传输（TET）用数厘米的WPT隔着皮肤，使电池更换手术变成不必要。采用低频（～200 kHz）来抑制组织加热，Q≈100左右也足以确保足够的kQ。工厂AGV·工业机器人的给电（Powermat、Yank Technology）也为了避免连接器磨损和电弧放电，越来越多地采用WPT。

多线圈·动态给电（DWPT）的事前检讨：韩国KAIST的OLEV公交车和欧洲ELECTREON进行的行驶中给电（Dynamic WPT），在道路埋设的线圈列上方行驶时连续给电。需要处理线圈切换、k的时间变动、多个接收，通常的做法是用本工具这样的单线圈对计算来确认k和kQ的基本特性，然后用Spice或FEM（COMSOL、ANSYS Maxwell）进行详细解析。

常见误解和注意事项

最常见的误解是"只要耦合系数k大就能高效率"。从本工具也能看出，支配效率的不是k单独，而是kQ性能指数。k=0.5、Q=20时kQ=10、效率90%，k=0.05、Q=400时kQ=20、效率95%。实际电动汽车WPT虽然k≈0.2，却能达到90%级。"只要把线圈靠近就行"的想法若忽视了Q，距离稍微变化就会从悬崖跌落。用Litz线（细素线多股绞合）如何攫取Q才是共振WPT的本质。

其次是"共振频率整匹一次就永远固定"的误解。实际上L和C会因温度、线圈变形、有无金属异物、车体高度（电动汽车中乘员数的变化会导致1～2厘米的变动）而改变，共振频率会偏移±数%。本工具显示的过耦合区域中会发生频率分割，形成两个峰值，固定频率时可能正好对上谷，导致效率大幅下降。实机中需要让PWM频率自动追随，或用PLL锁定，或用LCC补偿电路能动地重新整匹阻抗。"kQ=51时能输出96%效率"只是理论上限，前提是最优负载和完美整匹。

最后是"频率越高越好"的过度简化。确实高频能用小线圈得到高Q，整匹电容也变小，但(1) 表皮效应和邻近效应会增大电阻，Q的提升到头，(2) 周边金属的涡流损加剧，(3) 人体SAR（比吸收率）法规变严，(4) 能用的ISM波段有限（6.78 MHz、13.56 MHz等）。Qi/电动汽车WPT集中在85～205 kHz是经过这些权衡的结论。本工具中虽然能自由改变f，但实机中必须在这些法规范围内完成设计。

无线电力传输耦合系数 k·Q值设计

常见问题

实际应用

常见误解和注意事项

使用指南

具体计算例

实务中的注意点

无线电力传输 耦合系数 k·Q值模拟器

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