流れ関数 — トラブルシューティングガイド

代表的な問題と対策をまとめよう。

以下を順にチェックしてくれ。

• 緩和係数の確認: SORの最適緩和係数は $\omega_{SOR} = \frac{2}{1 + \sin(\pi h / L)}$ で近似できる。$N=100$ のとき $\omega_{SOR} \approx 1.94$ だ。$\omega > 2$ だと発散する
• 境界条件の一貫性: 全境界で $\psi$ の値を合計したとき、質量保存と矛盾しないか確認
• 残差の定義: 相対残差 $\|r\|/\|b\| < 10^{-6}$ で判定。絶対残差だとスケーリングの影響を受ける
• 初期推定: 前のタイムステップの解を初期推定に使う（warm start）ことで反復回数を大幅に削減できる

壁面渦度の更新とPoisson方程式の解が相互依存しているため、不安定になることがある。対策は

• 副反復（sub-iteration）: 各タイムステップ内でPoisson方程式と壁面渦度の更新を3〜5回繰り返す
• under-relaxation: 壁面渦度の更新に緩和を適用。$\omega_{wall}^{new} = \alpha \omega_{wall}^{calc} + (1-\alpha) \omega_{wall}^{old}$、$\alpha = 0.5$ 程度
• 陰的処理: 壁面渦度をPoisson方程式に陰的に組み込む（Napolitano et al., 1999）

高Re数では移流項が支配的になり、以下の問題が発生する。

これは流線の積分が数値誤差で不正確になるケースだ。

• Maximum Steps: デフォルト値（500）が小さすぎる場合がある。2000〜5000 に増やす
• Step Size: デフォルトのままだと粗い。0.001〜0.01 に減らす
• 壁面突き抜け: メッシュ品質が悪い領域で発生。セルのnon-orthogonality > 70度のセルがないか確認
• Pathlines vs Streamlines: 非定常流れでは Streamlines（瞬間の流れ場）と Pathlines（粒子の軌跡）は一致しない。目的に応じて使い分けること

OpenFOAMのstreamFunction は2Dメッシュ（1セル厚、empty パッチ使用）でのみ動作する。3D問題では使えない。代わりにParaViewの Stream Tracer フィルタを使って流線を可視化しよう。

流れ関数に関連する典型的な物理的ミスを挙げよう。

• 境界条件の過不足: Poisson方程式は楕円型なので全境界にDirichlet条件を課す必要がある。流出境界に$\psi$の値を指定し忘れると解が不定になる
• 流入流量と壁面条件の矛盾: 流入 $\psi$ の値が壁面の $\psi$ と矛盾すると質量が保存されない
• Reynolds数の定義: $Re = UL/\nu$ の特性長さ $L$ と特性速度 $U$ の定義を問題設定と一致させること。Lid-driven cavityでは $L$ = キャビティ辺長、$U$ = 蓋の速度
• 無次元化の不整合: コードを無次元化して実装する場合、全ての変数が同じ基準で無次元化されているか確認

特に単位系と無次元化は初心者が最もミスしやすいポイントだ。まず無次元化された方程式を紙に書き下し、コードの各行がどの項に対応するか確認することを強くおすすめする。