実験計画法 (DOE) — CAE用語解説
実験計画法 (DOE) とは
実験計画法（DOE）ってよく聞くんですけど、CAEの文脈だとどういうものなんですか？ 物理実験の話ではないんですよね？
Design of Experiments、略してDOE。もともとは1920年代にR.A.フィッシャーが農業実験の効率化のために体系化した統計手法だ。CAEでは「設計変数のどの組み合わせで解析を実行するか」を体系的に決める方法として使われている。例えば、自動車のバンパーの板厚・材料・リブ配置の3因子を変えて衝突解析をしたいとき、全通りやると数百ケースになる。DOEを使えば、数十ケースで各因子の影響度や交互作用を見抜けるんだ。
なるほど、計算回数を減らしつつ重要な情報を取りこぼさない、ということですね。総当たりだと計算コストが爆発するから？
そのとおり。CAEの解析は1ケースで数時間〜数日かかることも珍しくない。例えば5因子を各5水準で完全要因計画にすると $5^5 = 3{,}125$ ケース。1ケース2時間としても約260日分の計算になる。DOEを使えば同じ5因子でも50〜100ケース程度で主効果と主要な交互作用を把握できるんだ。
なぜCAEでDOEが必要なのか
パラメトリックスタディって、適当にパラメータを振って何回か解析すればいいんじゃないですか？ わざわざDOEを使う理由がピンと来なくて……。
「適当に振る」のが一番危険なんだ。実務で多いのが、エンジニアの勘でいくつかのケースだけ解析して「板厚を増やせば強度上がるはず」と結論づけるパターン。ところが実際には板厚と材料の交互作用があって、ある材料では板厚を増やすと逆に疲労寿命が落ちる、なんてこともある。DOEはそういう見落としを統計的に防ぐための仕組みだよ。
交互作用って、因子同士の組み合わせ効果のことですよね。1因子ずつ振るOne-Factor-At-a-Timeだと、それが見えないんですか？
見えない。OFAT（One-Factor-At-a-Time）は「他の因子を固定して1つだけ変える」方法で、最も初歩的なパラメトリックスタディだ。でもこれだと交互作用は検出不能だし、設計空間の一部しかカバーできない。DOEは複数の因子を同時に系統的に変化させるから、主効果と交互作用の両方を分離して推定できる。統計学的にも情報効率が格段に高いんだ。
代表的なDOE手法
完全要因計画 (Full Factorial Design)
まず完全要因計画から教えてください。これが一番基本ですよね？
全因子の全水準の組み合わせを全部やる方法だ。$k$ 個の因子をそれぞれ $n$ 水準で振ると、実験回数は $n^k$ になる。2因子3水準なら $3^2 = 9$ ケースで済むけど、10因子3水準だと $3^{10} = 59{,}049$ ケース。現実のCAEではまず無理だから、因子が3〜4個で水準数が少ない場合に限られるよ。
ラテン超方格法 (Latin Hypercube Sampling, LHS)
ラテン超方格法って名前がかっこいいですけど、具体的にはどういう仕組みなんですか？
ざっくり言うと「各因子の値域を $N$ 等分して、各区間から必ず1回ずつサンプリングする」方法だ。例えば板厚を 1.0〜5.0mm の範囲で20サンプル取りたいとき、0.2mm刻みの20区間を作って、各区間から1点ずつランダムに選ぶ。全因子でこれを独立にやるから、設計空間を偏りなくカバーできる。ランダムサンプリングと違って「ある領域に点が集中して、別の領域がスカスカ」という問題が起きにくいんだ。
CAEの最適化ツールでLHSをよく見かけます。modeFRONTIERとかOptiSLangとか。実務ではどう使うんですか？
典型的なのは「LHSで初期サンプルを生成 → 解析実行 → 応答曲面（サロゲートモデル）を構築 → 最適点を探索」という流れだね。例えば翼形状の空力最適化だと、翼型パラメータ10個をLHSで100点サンプリングして、CFDで100ケース回して、クリギングモデルを作って、その上で遺伝的アルゴリズムを走らせる。こうすれば10万回CFDを回す代わりに100回で済むわけだ。
LHSの数学的な定義を示す。$k$ 個の因子について $N$ 個のサンプル点を生成する場合、各因子 $x_i$（$i=1,\ldots,k$）の値域 $[a_i, b_i]$ を $N$ 等分し、$j$ 番目のサンプルにおける因子 $i$ の値は次のように決まる：
$$x_i^{(j)} = a_i + \frac{\pi_i(j) - u_{ij}}{N}(b_i - a_i), \quad j=1,\ldots,N$$ここで $\pi_i$ は $\{1,2,\ldots,N\}$ のランダム置換、$u_{ij} \sim U(0,1)$ は一様乱数である。
田口法（直交表・SN比）
田口法って日本発の手法ですよね。CAEでもまだ使われているんですか？
バリバリ使われているよ。特に日本の自動車メーカーや電機メーカーでは品質工学の文化が根強い。田口法の核心は直交表とSN比の2つだ。直交表（$L_9$, $L_{18}$, $L_{27}$ など）は因子の組み合わせを最小限の実験回数で均等に配置する仕掛け。SN比は「ばらつきに対するロバスト性」を定量化する指標で、望目特性・望小特性・望大特性の3タイプがある。
具体例を教えてください。例えばプレス成形の解析だとどう使うんですか？
良い例だね。プレス成形で「しわ」と「割れ」を防ぎたいとする。制御因子としてブランクホルダー力、パンチ速度、ダイR、潤滑条件の4因子を3水準で設定する。$L_9$ 直交表なら9ケースの成形シミュレーションで済む。誤差因子として材料ロットのばらつき（板厚公差、$r$ 値の変動）を外側直交表に配置する。結果をSN比で評価すると、「ブランクホルダー力が最も効くが、パンチ速度は割れに影響しない」といった主効果が一目でわかるんだ。
望目特性のSN比は次式で定義される：
$$\text{SN比} = 10\log_{10}\frac{\bar{y}^2}{s^2} \quad [\text{dB}]$$ここで $\bar{y}$ は応答の平均値、$s^2$ は分散である。SN比が大きいほど、目標値に対するばらつきが小さい（ロバストな）設計であることを示す。
応答曲面法 (Response Surface Methodology, RSM)
応答曲面法ってDOEとセットで語られますけど、正確にはどういう関係なんですか？
DOEが「どこを計算するか」を決める手法だとすれば、RSMは「計算結果から連続的な数学モデルを作る」手法だ。両者はセットで使われることが多い。DOEで選んだサンプル点でCAE解析を実行し、その結果（応力、変位、抗力係数など）を入力変数の関数として近似する。これがサロゲートモデル（代理モデル）だ。
サロゲートモデルにはどんな種類があるんですか？
代表的なのは3つ。多項式近似（2次応答曲面）は最もシンプルで、2因子なら $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_{11}x_1^2 + \beta_{22}x_2^2 + \beta_{12}x_1 x_2$ の形。Box-Behnken計画やCCD（中心複合計画）で係数を決定する。クリギング（ガウス過程回帰）はサンプル点を必ず通るので補間精度が高く、非線形性の強い応答に向いている。最近はニューラルネットワーク系のサロゲートも増えてきているよ。
実務だと、例えば熱交換器のフィン形状をRSMで最適化するとかですか？
まさにそういう使い方。フィンのピッチ、高さ、厚み、角度の4パラメータをLHSで60点サンプリングして、共役熱伝達CFDを60ケース実行する。結果から伝熱性能（Nu数）と圧力損失（Δp）のクリギングモデルを構築して、多目的最適化でパレートフロントを求める。1ケースのCFDに3時間かかっても60ケースで180時間、つまり1週間ちょっとで最適設計にたどり着ける。総当たりだと何年もかかるからね。
2次多項式応答曲面の一般形：
$$\hat{y}(\mathbf{x}) = \beta_0 + \sum_{i=1}^{k}\beta_i x_i + \sum_{i=1}^{k}\beta_{ii}x_i^2 + \sum_{iCAEにおけるDOEワークフロー
実際のプロジェクトでDOEを適用する流れを、ステップバイステップで教えてもらえますか？
典型的なワークフローは5ステップだ。
Step 2: DOE配置の選択 — 因子数・水準数・計算予算に応じて手法を選ぶ。連続因子が多ければLHS、離散因子が多ければ直交表、非線形応答の精密モデリングが必要ならCCD。
Step 3: 解析実行 — DOEで決まった各ケースのCAE解析を実行。自動化スクリプト（Python + Abaqus/OpenFOAM）で回すのが一般的。
Step 4: 応答分析 — 主効果図、交互作用図、分散分析（ANOVA）で各因子の寄与度を定量評価する。必要に応じてサロゲートモデルを構築。
Step 5: 最適化・確認解析 — サロゲートモデル上で最適点を探索し、その点でCAEの確認解析を実行して予測精度を検証する。
Step 4の分散分析（ANOVA）って、具体的にどういう情報が得られるんですか？
ANOVAを使うと、応答の全変動のうち「因子Aが何%を説明しているか」「因子AとBの交互作用が何%か」「残差（説明できない変動）が何%か」がわかる。例えば衝突解析で、板厚の寄与率が65%、材料の寄与率が20%、交互作用が10%、残差が5%と出れば、「まず板厚を最適化するのが最も効果的」と判断できる。限られた計算予算で最大の改善効果を得るための優先順位が明確になるんだ。
手法比較表
| 手法 | 実験回数 | 交互作用 | 連続変数 | 主な用途 |
|---|---|---|---|---|
| 完全要因計画 | $n^k$（指数的） | 全て検出可 | 不向き | 少因子の網羅的調査 |
| 田口法（直交表） | $L_9$〜$L_{81}$ 等 | 主効果中心 | 離散水準 | ロバスト設計・品質工学 |
| LHS | 任意（通常 $10k$〜$20k$） | サロゲート経由 | 得意 | サロゲートモデル構築 |
| CCD / Box-Behnken | $2^k + 2k + c$ | 2次まで | 得意 | 2次応答曲面の構築 |
| Sobol列 / Halton列 | 任意 | サロゲート経由 | 得意 | 準乱数による均等充填 |
結局、どの手法を選べばいいんですか？ 判断基準を教えてください。
判断基準は3つ。(1) 因子数と計算予算：因子が3個以下なら完全要因計画でOK。5個以上ならLHSか直交表。(2) 目的：ロバスト設計なら田口法、連続最適化ならLHS+サロゲート、2次モデルで十分ならCCD。(3) 因子の性質：連続変数（寸法、温度）が多ければLHS、離散変数（材料種、形状タイプ）が多ければ直交表。現場でよく使われるのはLHSで、汎用性が高いから迷ったらまずLHSから始めるのが定石だよ。
最近、ベイズ最適化とかAdaptive DOEとか聞くんですけど、従来のDOEとどう違うんですか？
従来のDOEは「最初にサンプル点を全部決めてから一気に解析する」バッチ型だ。Adaptive DOE（逐次DOE）は「数点解析 → サロゲート更新 → 次に解析すべき点を自動選択 → 解析」を繰り返す。ベイズ最適化はその代表例で、Acquisition Function（EI: Expected Improvement など）を使って「最適点である可能性が高い場所」と「まだよくわかっていない場所」のバランスを取りながら次の点を決める。同じ計算予算でもバッチ型より効率的に最適解に到達できることが多いんだ。
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