最適化 (Optimization) — CAE用語解説

基本の考え方は同じで、目的関数を最小化（または最大化）する設計変数を見つけること。ただしCAEの場合は、1回の関数評価にFEMやCFDの解析が必要で、計算コストが桁違いに大きいんだ。例えば自動車のボディ構造を1回解くのに数時間かかるとしたら、1000回も試行錯誤なんてできないだろう？

大きく分けて2つある。ひとつは勾配法（gradient-based）で、感度（微分情報）を使って効率よく降下方向を探す。もうひとつはメタヒューリスティクスで、遺伝的アルゴリズムや粒子群最適化のように微分を使わず確率的に探索する。前者は速いけど局所解に落ちやすく、後者は大域的に探索できるけど計算回数が多い。

3つの違いは「どこまで自由にデザインを変えられるか」だ。

その通り。トポロジー最適化の結果は生物の骨みたいに有機的な形状になることが多くて、従来の切削や鋳造では製造が難しかった。でもアディティブ・マニュファクチャリング（3Dプリンタ）なら、そういう複雑形状もそのまま造形できる。GE Aviationのジェットエンジン用燃料ノズルは有名な成功例で、20個の部品を1個に統合して重量を25%削減したんだ。

感度（sensitivity）を計算するんだ。ざっくり言うと「この板厚を0.1mm増やしたら応力が何MPa減るか」という偏微分を求める。やり方は3つある：

主に3つの場面で活躍する。まず目的関数が不連続や離散的な場合。例えばボルト本数（2本 or 4本 or 6本）のような整数変数は微分できない。次に局所解が多数ある多峰性の問題。勾配法だと最寄りの谷に落ちてしまうが、遺伝的アルゴリズムなら集団全体で広く探索できる。最後に解析コードがブラックボックスで感度が取れない場合。商用ソフトでソースコードにアクセスできないときによく使われるね。

粒子群最適化（PSO）、焼きなまし法（Simulated Annealing）、差分進化（Differential Evolution）あたりが定番だね。あと最近はベイズ最適化の人気が高い。サロゲートモデル（代理モデル）で近似してから探索するので、高コストなCFDや衝突解析でも数十回のサンプルで良い解を見つけられる。

核心は「設計変数が何百万個あっても、感度計算に必要な追加の連立方程式がたった1回で済む」ということ。普通の有限差分法だと変数が $n$ 個あれば $n$ 回の解析が必要だけど、随伴法なら1回の随伴解析で全変数の感度が一括で得られる。

ポイントはラグランジュの未定乗数法だ。目的関数 $J$ と支配方程式の残差 $R(\mathbf{u}, \mathbf{x}) = 0$ を組み合わせた拡張関数：

いい質問だね。OpenFOAMのadjointOptimisationFoamは定常RANS随伴に対応していて実用レベルだ。注意点としては：まず元の流れ場（primal）が十分に収束していることが前提。残差が大きいと随伴解もガタガタになる。次に随伴方程式の収束は元の方程式より難しいことが多い。緩和係数を小さめにするのがコツ。あとは乱流モデルの随伴をフリーズ（frozen turbulence）するか厳密に解くかで精度が変わる。計算資源に余裕があれば厳密随伴を使いたいところだ。

それが多目的最適化だ。例えば自動車の車体設計なら「質量最小化」と「衝突エネルギー吸収量最大化」は互いに矛盾する。軽くすると吸収量が減るし、吸収量を増やすと重くなる。このトレードオフの境界がパレートフロントで、この曲線上の解はどれも「ある意味で最適」なんだ。

数学的にはどれも等価だから、最終的にはエンジニアの判断で決める。よく使われる方法は3つ：

集団サイズ×世代数だけ評価が必要になる。例えば集団100×50世代=5000回。1回の解析に1時間かかるなら単純計算で5000時間。現実的にはサロゲートモデルで近似して評価回数を100〜200程度に減らすか、HPCクラスタで並列実行するかだね。modeFRONTIERやHyperStudyのような最適化プラットフォームはこのあたりを自動化してくれる。