モンテカルロ法 (Monte Carlo Method) — CAE用語解説

大きく分けて3つの使い方がある。1つ目は不確かさ伝播（Uncertainty Propagation）で、材料物性や荷重条件にばらつきがあるとき、出力の統計分布を求める。2つ目は信頼性解析で、破壊確率や安全係数の分布を評価する。3つ目は放射伝熱のビューファクター計算で、複雑形状の面間放射をレイトレーシングで求めるんだ。

ざっくり言うと「答えがわからない積分や期待値を、乱数サンプリングの平均値で近似する」手法だ。例えば円の面積を求めたいとき、正方形の中にランダムに点を打って、円の中に入った点の割合から面積を推定する——あの有名な実験がまさにモンテカルロ法の本質だね。名前の由来はモナコのモンテカルロ・カジノで、「サイコロを何回も振る」イメージにぴったりだからだ。

単純なモンテカルロ法だと収束速度が $O(1/\sqrt{N})$ だから、有効数字を1桁増やすにはサンプル数を100倍にする必要がある。例えば標準誤差を1%以下にしたいなら、ざっと $N = 10{,}000$ は欲しいところだ。

例えば自動車のボディ構造解析を考えてみよう。板厚の製造公差が ±0.05mm、ヤング率のロット間ばらつきが ±3%、溶接ビードの位置精度が ±1mm あるとする。決定論的なFEM解析では代表値1個しか入力できないけど、モンテカルロ法なら各パラメータを確率分布（正規分布や一様分布）として与えて、何百回もFEMを回す。結果として「最大応力の95パーセンタイル値」とか「剛性の変動係数」が得られるんだ。

そこが実務での最大の壁だ。対策としては、応答曲面法（RSM）やクリギングなどのサロゲートモデルを作って、それに対してモンテカルロ法を適用するのが主流。元の重い解析は数十～数百回だけ走らせて代理モデルを構築し、代理モデルに対して10万回サンプリングするイメージだね。

不確かさ伝播が「出力の統計分布全体」を知りたいのに対して、信頼性解析は「破壊する確率」という1つの数字にフォーカスする。限界状態関数 $g(\mathbf{x})$ を定義して、$g(\mathbf{x}) \leq 0$ となる確率、つまり破壊確率 $P_f$ を求めるんだ。

するどいね。単純モンテカルロ法だと $P_f = 10^{-6}$ を変動係数10%で推定するには $N \approx 10^8$ 回必要になる。だから実務では重点サンプリング（Importance Sampling）という手法を使って、破壊領域の近くに集中的にサンプルを打つ。あるいはFORM/SORMのような近似手法で最も危険な点（設計点）を見つけてから、その周辺でモンテカルロ法を適用する「サブセットシミュレーション」を使うこともある。航空宇宙や原子力のように $P_f < 10^{-7}$ が要求される分野では必須のテクニックだ。

6σ設計との組み合わせが代表例だ。6σ品質（百万個に3.4個の不良率）を達成するには、ばらつきを考慮した設計が必須になる。モンテカルロ法でFEM結果の分布を求めて、6σの裾野でもNGにならないことを確認する。量産部品のプレス成形で板厚・摩擦係数・ブランク位置のばらつきを入れて、割れやしわの発生確率を評価するのも典型的なアプリケーションだよ。

まったく違う。放射エネルギーを多数の光線（レイ）として離散化し、各レイの射出方向・反射・吸収を確率的に追跡するんだ。面Aからランダムな方向にレイを飛ばして、面Bに到達したレイの割合がそのままビューファクター $F_{A \to B}$ の推定値になる。

人工衛星の熱設計が代表例だね。宇宙空間では対流がないから放射が支配的で、太陽電池パネルやラジエータの複雑な形状間のビューファクターを正確に求める必要がある。解析解は平行平板とか同軸円板みたいな簡単な形状にしか存在しないから、実際の衛星形状ではモンテカルロ法が事実上の標準手法だよ。Thermal Desktopなどの宇宙熱解析ソフトは内部的にこの手法を使っている。

いい質問だ。参加性媒体がある場合は、レイが媒体中を進むときに吸収係数 $\kappa$ に従ってランダムに吸収されるか散乱されるかを判定する。光路長 $s$ をビールの法則 $\tau = e^{-\kappa s}$ に基づいてサンプリングするんだ。Discrete Ordinates法やP1近似と比べると計算コストは高いけど、波長依存性や非灰色ガスの扱いが自然にできるのがモンテカルロ法の強みだ。

分散低減手法（Variance Reduction Techniques）がいくつもある。実務でよく使われるものを紹介しよう。

単純ランダムだと偶然の偏りでサンプルが集中する領域と空白域ができてしまう。LHSは各変数の範囲をN等分して、各層から必ず1点ずつ取るから、入力空間をムラなくカバーできる。例えばFEMの不確かさ解析で50回しか計算できないとき、LHSなら50個のサンプルでも入力空間をかなり均一に探索できる。Ansys Workbenchの「Design of Experiments」やOptiStructのロバスト設計でも標準的に使えるよ。

Sobolシーケンスは「準モンテカルロ法」に分類される。乱数ではなく、あらかじめ設計された低食い違い量列を使うから、空間の被覆が非常に効率的だ。LHSはサンプル数Nを事前に決める必要があるけど、Sobolは途中でサンプルを追加しても均一性が保たれる。ただしLHSのほうが実装が簡単で、商用ソフトのサポートも多いから、まずはLHSから始めて、精度が足りなければSobolを検討するのがいいだろう。

典型的なワークフローはこうだ。まず入力変数（板厚、材料定数、荷重など）の確率分布を定義する。次にLHSで50～200点のサンプルを生成し、それぞれに対してFEMを実行する。得られた入出力データでクリギングや多項式カオス展開（PCE）の代理モデルを構築する。最後にこの代理モデルに対して10万～100万回のモンテカルロ法サンプリングを行い、出力の統計量や破壊確率を求める。代理モデルの評価はマイクロ秒オーダーだから、100万回でも数秒で終わるんだ。

代理モデルの精度検証は必ずやること。LOOCV（Leave-One-Out Cross-Validation）で $R^2 > 0.95$ を確認するとか、追加検証点で予測誤差を確認するとか。代理モデルが外れていたら、いくらモンテカルロ法を回しても意味のない結果になるからね。最近は能動学習（Adaptive Sampling）でモデルの不確かさが大きい領域に追加サンプルを自動配置する手法も出てきている。